高二數(shù)學(xué)下冊(cè)選修1《運(yùn)動(dòng)快慢的描述──速率》教案【一】
教學(xué)打算
教學(xué)目標(biāo)
一、知識(shí)目標(biāo)
1、理解速率的概念。曉得速率是表示運(yùn)動(dòng)快慢的數(shù)學(xué)量，曉得它的定義、公式、符號(hào)和單位，曉得它是矢量。
2、理解平均速率，曉得瞬時(shí)速率的概念。
3、知道速率和速度以及它們的區(qū)別。
二、能力目標(biāo)
1、比值定義法是數(shù)學(xué)學(xué)中常常采用的方式，中學(xué)生在中學(xué)生過程中把握用物理工具描述化學(xué)量之間的關(guān)系的方式。
2、培養(yǎng)中學(xué)生的遷移類推能力，具象思維能力。出國(guó)留學(xué)網(wǎng)
三、德育目標(biāo)
由簡(jiǎn)單的問題逐漸把思維遷移到復(fù)雜方向，培養(yǎng)中學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜。
教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)
平均速率與瞬時(shí)速率的概念及其區(qū)別。
教學(xué)難點(diǎn)
如何由平均速率引出瞬時(shí)速率。
教學(xué)工具
教學(xué)講義
教學(xué)過程
一、比較運(yùn)動(dòng)快慢的方法
形式1：距離一定，時(shí)間越少，運(yùn)動(dòng)越快
比如：在雅典冬奧會(huì)上的110米短跑中，誰先挪到終點(diǎn)，即誰用時(shí)最少，誰最快.我國(guó)運(yùn)動(dòng)員劉翔用時(shí)最少，得到了金牌。
方法2：時(shí)間一定，位移越大，運(yùn)動(dòng)越快。
比如：兩個(gè)朋友在吹牛，甲說我只用2分鐘可以騎到紅太陽(yáng)廣場(chǎng)，乙說你真慢，我2分鐘早騎到老城了。
以上兩種不同的方法都可以拿來比較運(yùn)動(dòng)的快慢，總結(jié)如下：
相同位移--比較時(shí)間
相同時(shí)間--比較位移
二、探討問題：
1、以上是我們比較物體運(yùn)動(dòng)快慢的兩種不同的形式，我們能不能找到一種共同的標(biāo)準(zhǔn)來同時(shí)評(píng)判這兩種方法?
2、我們?cè)谛W(xué)學(xué)過電功率，若做功為w，時(shí)間為t，則表示用家電做工的快慢的電功率p為p=w/t
單位時(shí)間內(nèi)做工越多，說明做功越快。
3、我們?nèi)缃褚膊捎猛瑯拥姆绞角髥挝粫r(shí)間內(nèi)物體的位移，若單位時(shí)間內(nèi)的位移越大，說明運(yùn)動(dòng)的越快.
例：甲乙運(yùn)動(dòng)員沿直線往前跑，甲4秒跑了32米，乙3秒跑了30米，問誰跑的快?
解：甲每秒跑32÷4=8米
乙每秒跑30÷3=10米
∵8米
4、為了描述物體運(yùn)動(dòng)的快慢，數(shù)學(xué)中引入了一個(gè)數(shù)學(xué)量--------速率
定義：速率v等于位移s跟發(fā)生這段位移所用時(shí)間t的比值.
符號(hào)：vv=s/t
單位：m/skm/hcm/s
速率的矢量性：
方向：與物體運(yùn)動(dòng)的方向相同
大小：等于單位時(shí)間內(nèi)的位移大小
三、鞏固練習(xí)：
1、某物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在8秒的時(shí)間內(nèi)從東往西聯(lián)通了24米，其速率為多少?
解：運(yùn)動(dòng)的速率v=s/t=24/8=3m/s
方向?yàn)閺臇|向北.
2、你了解以下物體的速率嗎?您會(huì)形容物體運(yùn)動(dòng)快慢嗎?(講義出示)
3、在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，任一段位移S跟發(fā)生這段位移所用的時(shí)間t的比值是恒定的，可以由S/t求出勻速直線運(yùn)動(dòng)的速率，用這個(gè)速率可以描述整個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng).
一輛車輛在一條直線上行駛，第1s內(nèi)通過的位移是8m，第2s內(nèi)通過的位移是20m，第3s內(nèi)通過的位移是30m，第4s內(nèi)通過的位移是10m。
(1)車輛做哪些運(yùn)動(dòng)?
(2)分別求出第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)、第4s內(nèi)的速率
四、平均速率
編者按：為描述變速直線運(yùn)動(dòng)的快慢，我們引入平均速率的概念：
1、定義：變速直線運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)物體在一段時(shí)間內(nèi)通過的位移s和所用時(shí)間t的比稱作這段位移(或這段時(shí)間)內(nèi)的平均速率。
一輛車輛在一條直線上行駛，第1s內(nèi)通過的位移是8m，第2s內(nèi)通過的位移是20m，第3s內(nèi)通過的位移是30m，第4s內(nèi)通過的位移是10m。
試估算：
(1)最初2s的平均速率
(2)中間2s的平均速率
(3)后3s的平均速率
(4)全過程中的平均速率
答案：14m/s25m/s20m/s17m/s
說明：
對(duì)于變速直線運(yùn)動(dòng)，每段時(shí)間(或位移)的平均速率不一樣，所以必須指明是哪段時(shí)間(或位移)的平均速率.
平均速率只能大約描述物體的運(yùn)動(dòng)情況，要曉得物體在各個(gè)位置或時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢，就能確切的描述變速直線運(yùn)動(dòng)，這就要我們必須曉得哪些叫瞬時(shí)速率.
2、瞬時(shí)速率(即時(shí)速率)
定義：瞬時(shí)速率指的是物體在某一時(shí)刻或某一位置的速率。
瞬時(shí)速率是矢量，其方向與物體經(jīng)過某一位置時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向相同。
瞬時(shí)速率的大小叫瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度。
速度的測(cè)定--速率計(jì)
貨車中常見的速率計(jì)能直接讀出汽車在某一時(shí)刻或某一位置時(shí)的瞬時(shí)速度。
按照?qǐng)D中表針指示的讀數(shù)可讀出瞬時(shí)速率大小，圖中上部的數(shù)碼顯示的是本次行車的路程，下部數(shù)碼顯示的是該車行車總的里程數(shù)。
五、小結(jié)
1、速度的概念及化學(xué)意義;
2、平均速率的概念及化學(xué)意義;
3、瞬時(shí)速率的概念及化學(xué)意義;
4、速度的大小稱為速度。
課后習(xí)題
作業(yè)：P26練習(xí)三3、4、5題。
高二數(shù)學(xué)下冊(cè)選修1《運(yùn)動(dòng)快慢的描述──速率》教案【二】
教學(xué)打算
教學(xué)目標(biāo)
1.理解速率的化學(xué)意義，曉得速率是矢量.
2.理解平均速率和瞬時(shí)速率的區(qū)別，曉得速度的概念.
3.會(huì)用平均速率公式進(jìn)行相關(guān)的估算.
教學(xué)重難點(diǎn)
1.速率的化學(xué)意義，速率是矢量.
2.平均速率和瞬時(shí)速率的區(qū)別.
3.用平均速率公式進(jìn)行相關(guān)的估算.
教學(xué)過程
[知識(shí)探究]
一、速度
[問題設(shè)計(jì)]
單車和車輛都在平直道路上沿同一方向雙向行駛，單車在30min內(nèi)行駛了8km;車輛在30min內(nèi)行駛了50km;百米大賽中，運(yùn)動(dòng)員甲用時(shí)10s，運(yùn)動(dòng)員乙用時(shí)13.5s.
(1)單車和車輛那個(gè)運(yùn)動(dòng)得快?你是怎么進(jìn)行比較的?
(2)運(yùn)動(dòng)員甲和運(yùn)動(dòng)員乙那個(gè)跑得快?你是怎么進(jìn)行比較的?
(3)車輛和運(yùn)動(dòng)員甲那個(gè)運(yùn)動(dòng)得快?你又是怎樣進(jìn)行比較的呢?
答案(1)車輛運(yùn)動(dòng)得快，相同時(shí)間內(nèi)位移大的跑得快.
(2)運(yùn)動(dòng)員甲跑得快，通過相同位移所需時(shí)間短的跑得快.
(3)比較兩物體單位時(shí)間內(nèi)的位移，可比較兩物體運(yùn)動(dòng)的快慢
車輛：Δx/Δt=50km/30min=50×103m/30×60s=27.8m/s
運(yùn)動(dòng)員甲：Δx/Δt=100m/10s=10m/s，
所以車輛運(yùn)動(dòng)得快.
[要點(diǎn)提煉]
1.定義：位移與發(fā)生這個(gè)位移所用時(shí)間的比值.速率是表示物體運(yùn)動(dòng)快慢的化學(xué)量.
2.公式：v=Δx/Δt.其中Δx是位移，不是路程.
說明速率的定義方式是比值定義法.比值定義法是中學(xué)常見的一種定義化學(xué)量的方式，被定義的數(shù)學(xué)量不是由其它兩個(gè)量決定，即不能說v與Δx成反比，與Δt成正比.中學(xué)曾學(xué)習(xí)過ρ=m/V、R=U/I也是用比值定義法定義的.
3.方向：速率是矢量，速率的方向就是物體運(yùn)動(dòng)的方向.
注意(1)當(dāng)比較兩個(gè)速率是否相同時(shí)，既要比較大小是否相等又要比較其方向是否相同.
(2)剖析物體的運(yùn)動(dòng)速率時(shí)不可只關(guān)注速率的大小，也要注意確定速度的方向.
二、平均速率和瞬時(shí)速率
[問題設(shè)計(jì)]
某同事百米大賽用時(shí)12s，前2s內(nèi)的位移為12m，第2個(gè)2s內(nèi)位移為14m，第3個(gè)2s內(nèi)位移為16m，第4個(gè)2s內(nèi)位移為19m，第5個(gè)2s內(nèi)位移為20m，第6個(gè)2s內(nèi)位移為19m.
(1)估算上述6個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的平均速率，并說明哪段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得最快?8s末的速率一定等于12s末的速率嗎?
(2)通過以上數(shù)據(jù)，你能曉得這個(gè)朋友的“起跑速率”、“沖刺速率”以及“最大速率”嗎?
答案(1)第1個(gè)2s內(nèi)v1=12m2s=6m/s，
第2個(gè)2s內(nèi)v2=14m2s=7m/s，
第3個(gè)2s內(nèi)v3=16m2s=8m/s，
第4個(gè)2s內(nèi)v4=19m2s=9.5m/s，
第5個(gè)2s內(nèi)v5=20m2s=10m/s，
第6個(gè)2s內(nèi)v6=19m2s=9.5m/s.
第5個(gè)2s內(nèi)運(yùn)動(dòng)得最快.不一定.
(2)不能.
[要點(diǎn)提煉]
1.平均速率
(1)定義：在某段時(shí)間內(nèi)物體的位移Δx與發(fā)生這段位移所用時(shí)間Δt的比值，公式v=Δx/Δt.
(2)意義：表示物體在某段時(shí)間或某段位移內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度.
(3)矢量性：平均速率的方向與Δt時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移Δx的方向相同.
(4)平均速率只能簡(jiǎn)略地反映物體運(yùn)動(dòng)的快慢.
2.瞬時(shí)速率
(1)定義：當(dāng)Δt特別小時(shí)，物體在從t到t+Δt的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)快慢的差別也就十分小，就可以用v=ΔxΔt表示物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速率.
(2)意義：表示運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻(或經(jīng)過某一位置時(shí))的速率.
(3)瞬時(shí)速率的方向就是該時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)的方向.瞬時(shí)速率的大小叫速度.
(4)瞬時(shí)速率可以精確描述物體在某一時(shí)刻(或某一位置)的運(yùn)動(dòng)快慢.
3.勻速直線運(yùn)動(dòng)：平均速率與瞬時(shí)速率相等.
三、平均速率、平均速度和速度
[問題設(shè)計(jì)]
物體在某段時(shí)間內(nèi)仍然運(yùn)動(dòng)，它的平均速率可能等于零嗎?平均速度呢?請(qǐng)舉例說明.
答案例如某人繞操場(chǎng)跑一圈的過程，位移等于零則平均速率等于零，而且路程不等于零，則平均速度就不等于零.
[要點(diǎn)提煉]
1.平均速率：在某段時(shí)間內(nèi)的位移與發(fā)生這段位移所用時(shí)間的比值，其表達(dá)式為平均速率=位移時(shí)間.
2.平均速度：路程與時(shí)間的比值，即平均速度=路程時(shí)間.
3.速度：瞬時(shí)速率的大小.
[延展思索]
運(yùn)動(dòng)物體平均速率的大小等于平均速度嗎?
答案不一定等于.由于位移大于等于路程，所以平均速率大于等于平均速度.只有在雙向直線運(yùn)動(dòng)中，平均速率的大小才等于平均速度.
[典例精析]
一、對(duì)速率的理解
例1關(guān)于速率的定義式v=Δx/Δt，以下表述正確的是()
A.物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速率v與運(yùn)動(dòng)的位移Δx成反比，與運(yùn)動(dòng)時(shí)間Δt成正比
B.速率v的大小與運(yùn)動(dòng)的位移Δx和時(shí)間Δt都無關(guān)
C.此速率定義式適用于任何運(yùn)動(dòng)
D.速率是表示物體運(yùn)動(dòng)快慢及方向的數(shù)學(xué)量
解析v=Δx/Δt是估算速率的公式，適用于任何運(yùn)動(dòng)，C對(duì);此式只說明速率可用位移Δx乘以時(shí)間Δt來獲得，并不是說v與Δx成反比，與Δt成正比，A錯(cuò)測(cè)量平均速度教案，B對(duì);速率的大小表示物體運(yùn)動(dòng)的快慢，方向表示物體的運(yùn)動(dòng)方向，D對(duì).
答案BCD
二、平均速率與瞬時(shí)速率的理解
例2小蒙騎單車由靜止沿直線運(yùn)動(dòng)，他在第1s內(nèi)、第2s內(nèi)、第3s內(nèi)、第4s內(nèi)通過的位移分別為1m、2m、3m、4m，則()
A.他4s末的瞬時(shí)速率為4m/s
B.他第2s內(nèi)的平均速率為1.5m/s
C.他4s內(nèi)的平均速率為2.5m/s
D.他1s末的速率為1m/s
解析單車速率是逐步減小的，難以確定它的瞬時(shí)速率，只能求出平均速率，第2s內(nèi)平均速率為21m/s=2m/s;4s內(nèi)的平均速率v=1+2+3+44m/s=2.5m/s.
答案C
針對(duì)訓(xùn)練2013年11月8日強(qiáng)悍臺(tái)風(fēng)“海燕”重創(chuàng)美國(guó).氣象部門說，登錄時(shí)，“海燕”持續(xù)風(fēng)速235km/h，中心最狂風(fēng)速達(dá)到314km/h.其中的兩個(gè)速率數(shù)值分別是指()
A.平均速率，瞬時(shí)速率B.瞬時(shí)速率，平均速率
C.平均速率，平均速率D.瞬時(shí)速率，瞬時(shí)速率
答案A
解析平均速率對(duì)應(yīng)的是一段時(shí)間或一段位移，而瞬時(shí)速率對(duì)應(yīng)的是某時(shí)刻或某位置，由“持續(xù)”知，235km/h指的是一段時(shí)間的平均速率，314km/h是指瞬時(shí)速率，故A正確.
三、平均速率與平均速度的估算
例3一物體以v1=4m/s的速率向東運(yùn)動(dòng)了5s后抵達(dá)A點(diǎn)，在A點(diǎn)停了5s后又以v2=6m/s的速率沿原路返回，運(yùn)動(dòng)了5s后抵達(dá)B點(diǎn)，求物體在全程的平均速率和平均速度.
解析物體全程的位移大小x=v2t2-v1t1=6×5m-4×5m=10m，全程用時(shí)t=5s+5s+5s=15s，故平均速率大小v=x/t=10/15m/s=2/3m/s，方向向北.物體全程的路程s=v2t2+v1t1=6×5m+4×5m=50m，故平均速度v′=s/t=50/15m/s=10/3m/s.
答案平均速率的大小為2/3m/s，方向向北平均速度為10/3m/s
[課堂要點(diǎn)小結(jié)]
三組數(shù)學(xué)量的對(duì)比辨析
速率和速度速率：物體的位移與發(fā)生這個(gè)位移所用時(shí)間的比值，是矢量速度：瞬時(shí)速率的大小叫速度，是標(biāo)量
平均速率和瞬時(shí)速率平均速率：v=Δx/Δt，與一段時(shí)間或一段位移相對(duì)應(yīng)，平均速率的方向與這段時(shí)間內(nèi)的位移方向相同;平均速率只能簡(jiǎn)略地描述運(yùn)動(dòng)的快慢瞬時(shí)速率：質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻或某一位置的速率，與時(shí)刻或位置相對(duì)應(yīng);瞬時(shí)速率的方向即那一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向;它能精確地描述運(yùn)動(dòng)的快慢
平均速率的大小和平均速度平均速率=位移/時(shí)間
平均速度=路程/時(shí)間
注意：由于位移大小與路程通常不相等，故平均速率的大小通常不等于平均速度
[自我檢查]
1.(速率)關(guān)于速率的說法，下述各項(xiàng)中正確的是()
A.速率是描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的化學(xué)量，速率大表示物體運(yùn)動(dòng)得快
B.速率描述物體的位置變化快慢，速率大表示物體位置變化大
C.速率越大，位置變化越快，位移也就越大
D.瞬時(shí)速率的大小一般稱作速度，速率是矢量，速度是標(biāo)量
答案AD
2.(平均速率與瞬時(shí)速率)為了使道路交通有序、安全，路旁立了許多交通標(biāo)志.如圖1所示，甲圖是限速標(biāo)志，表示準(zhǔn)許行駛的最大速率是80km/h;乙圖是路線指示標(biāo)志，表示到北京還有100km.上述兩個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)意義是()
圖1
A.80km/h是平均速率，100km是位移
B.80km/h是平均速率，100km是路程
C.80km/h是瞬時(shí)速率，100km是位移
D.80km/h是瞬時(shí)速率，100km是路程
答案D
解析在某路段或路口限定最高車速，是指任一時(shí)刻都不能超過該速率，是瞬時(shí)速率，較長(zhǎng)的道路是有彎曲的，100km是指路程，D對(duì).
3.(平均速率與瞬時(shí)速率)如圖2所示是三個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B、C的運(yùn)動(dòng)軌跡，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從N點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)抵達(dá)M點(diǎn).下述說法正確的是()
圖2
A.三個(gè)質(zhì)點(diǎn)從N到M的平均速率相同
B.三個(gè)質(zhì)點(diǎn)抵達(dá)M點(diǎn)的瞬時(shí)速率相同
C.三個(gè)質(zhì)點(diǎn)從N到M的平均速度相同
D.B質(zhì)點(diǎn)從N到M的平均速率方向與任意時(shí)刻的瞬時(shí)速率方向相同
答案A
解析平均速率等于位移與時(shí)間的比值，因?yàn)槲灰婆c時(shí)間都相同，故平均速率相同，故A正確;平均速度等于路程與時(shí)間的比值，因?yàn)闀r(shí)間相等，路程不等，故平均速度不相等，故C錯(cuò)誤;三個(gè)質(zhì)點(diǎn)抵達(dá)M點(diǎn)的瞬時(shí)速率方向肯定不同，所以瞬時(shí)速率肯定不同，B錯(cuò)誤;B質(zhì)點(diǎn)不一定做雙向直線運(yùn)動(dòng)，所以B質(zhì)點(diǎn)從N到M的平均速率方向與任意時(shí)刻的瞬時(shí)速率方向不一定相同，D錯(cuò)誤.
4.(平均速率與平均速度的估算)在1000m體能測(cè)試中，小明沿某方形400m跑道(如圖3所示)從A點(diǎn)出發(fā)，其成績(jī)?yōu)?分40秒，下述說法正確的是()
圖3
A.小明的平均速度為4.55m/s
B.小明的平均速度為0.91m/s
C.小明的平均速率為0.91m/s
D.小明的平均速率為0.58m/s
答案AD
解析平均速度為路程與時(shí)間的比值測(cè)量平均速度教案，所以平均速度為v1=st=×60s+40s≈4.55m/s，平均速率為位移與時(shí)間的比值，所以平均速率為v=xt=63.7×2m3×60s+40s≈0.58m/s.所以選A、D.
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