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(知識(shí)點(diǎn))剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和角動(dòng)量守恒定律

更新時(shí)間:2023-12-19 文章作者:佚名 信息來源:網(wǎng)絡(luò)整理 閱讀次數(shù):

1、43第3章質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和角動(dòng)量守恒定理在前幾章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中,我們忽視了物體自身大小和形狀,將物體視為質(zhì)點(diǎn),用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)取代了整個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。并且在實(shí)際物體運(yùn)動(dòng)中,除了物體在大小和形狀千差,但是運(yùn)動(dòng)又有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之別。這時(shí)我們須要另一個(gè)突出主要特點(diǎn),忽略其次要誘因,既具有大小又具有形狀的理想模型質(zhì)心。在受力的作用時(shí),其形狀和容積都不發(fā)生任何變化的物體,稱做質(zhì)心。本章將介紹質(zhì)心所遵照的熱學(xué)規(guī)律,重點(diǎn)討論質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這些簡單的情況。因?yàn)橘|(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的基本概念和原理與前幾章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本概念和原理相像,因而我們將質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)對比學(xué)習(xí)一會(huì)事半功倍。§3-1質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的方式7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

2、剛體的運(yùn)動(dòng)可以分為平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)及平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。圖3-1質(zhì)心的平動(dòng)平動(dòng)的定義為,在質(zhì)心在運(yùn)動(dòng)過程中,質(zhì)心中任意兩點(diǎn)的連線仍然平行。如圖5-1所示。因?yàn)槠絼?dòng)時(shí)質(zhì)心內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況都是一樣的,因而描述質(zhì)心平動(dòng)只須要描寫質(zhì)心內(nèi)一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),也就是說質(zhì)心的平動(dòng)只要用其中一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就可以代表它整體的運(yùn)動(dòng)。圖3-2質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)的定義為,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)心中所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng),這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)軸可以是固定的,也可以是變化的。若轉(zhuǎn)軸固定,稱為質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸不固定,運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。質(zhì)心的通常運(yùn)動(dòng)可以看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。平動(dòng)在前幾章早已研究過,本章我們主要研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。2.質(zhì)心的定7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

3、軸轉(zhuǎn)動(dòng)研究質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),選與轉(zhuǎn)軸垂直的圓周軌道所在平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。因?yàn)槊枋龈髻|(zhì)元運(yùn)動(dòng)的角量,如角位移、角速率和角加速度都是一樣的,因而描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)用角量較為便捷。由于質(zhì)心上各質(zhì)元的直徑不同,所以各質(zhì)元的速率和加速度不相等。角速率和角加速度通常情況下是矢量,因?yàn)橘|(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速率和角加速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向,因而可用帶有“+、-”的標(biāo)量表示角速率和角加速度。這些技巧我們并不陌生,質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)我們也是用帶有“+、-”的標(biāo)量表示速率和加速度。角速率的大小為(3-1)它的方向規(guī)定為沿轉(zhuǎn)軸的方向,其指向由左手螺旋法則確定。角加速度為(3-2)它的方向規(guī)定為沿轉(zhuǎn)軸的方向,其指向由左手螺旋法則7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

4、確定。離轉(zhuǎn)軸的距離為的質(zhì)元的線速率和質(zhì)心的角速率的關(guān)系為:(3-3)其加速度和質(zhì)心的角加速度的關(guān)系為:(3-4)(3-5)§3-2質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)力矩1質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),質(zhì)心中各質(zhì)元都繞定軸作圓周運(yùn)動(dòng),因此都有動(dòng)能,質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于質(zhì)心中所有質(zhì)元的動(dòng)能之和如何證明角動(dòng)量守恒定律,可表示為(3-6)式中,為質(zhì)心對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩,所以質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能(3-6)即質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能等于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩和角速率平方的乘積的一半。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能:,質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能:;質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能抒發(fā)方式相像,質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J是質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性大小的測度,其在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與平7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

5、動(dòng)時(shí)質(zhì)量m的地位相像,轉(zhuǎn)動(dòng)中的角速率與平動(dòng)中的速率地位相像。2.質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩從質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能可知,質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J和質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m相對應(yīng)。質(zhì)量m是物體平動(dòng)慣性大小的量度,質(zhì)量越大的,它的速率越不易改變。質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J越大的,它的角速率越不易改變。按照轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的定義:轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J等于質(zhì)心上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。對于質(zhì)點(diǎn)連續(xù)分布的質(zhì)心,上述求和可以用定積分取代,即(3-7)式中,r為質(zhì)心內(nèi)任意質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的化學(xué)意義:質(zhì)心對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩等于質(zhì)心中各質(zhì)元的質(zhì)量和它們各自離該軸的垂直距離的平方的乘積的總和,它的7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

6、大小除了與質(zhì)心的總質(zhì)量有關(guān),并且和質(zhì)量相對于軸的分別有關(guān),其關(guān)系可概括如下1)形狀、大小相同的均勻質(zhì)心總質(zhì)量越大,轉(zhuǎn)動(dòng)力矩越大;2)質(zhì)心總質(zhì)量相同,質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)力矩越大;3)同一質(zhì)心,轉(zhuǎn)軸不同,質(zhì)量分布就不同,因此轉(zhuǎn)動(dòng)力矩就不同。在國際單位制中,轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的單位是千克·米2,符號(hào)為kg·m2。例3-1一根質(zhì)量為m、長為l的均勻細(xì)棒,繞通過棒的中心(剛體)并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),求細(xì)棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。解:將棒的中點(diǎn)取為座標(biāo)原點(diǎn),構(gòu)建座標(biāo)系Oxy,取y軸為轉(zhuǎn)軸,如圖所示。在距離轉(zhuǎn)軸為x處取棒元dx,其質(zhì)量為由式有例3-2求質(zhì)量為,直徑為,長度極7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

7、薄的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心,如圖所示。解:按照轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的定義式,又由于環(huán)上各質(zhì)元到軸的垂直距離為R,且都相等,所以因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)力矩是可疊加的,所以一個(gè)質(zhì)量為,直徑為的薄圓筒對其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩也是。例3-3求質(zhì)量為,直徑為,長度為l的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。軸與圓盤平面垂直并通過其圓心,如圖所示。解:按照轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的定義式,又由于圓盤可以覺得是由許多原環(huán)組成。取任一直徑為,寬為的薄圓環(huán),其轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為,式中為薄圓環(huán)的質(zhì)量,以表示圓盤的體密度,則,所以,故圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為表2-2常見質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩3.平行軸定律圖2-3平行軸定律平行軸定律常用于求轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。可以證明,假如質(zhì)心對過質(zhì)7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

8、心C的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為JC,則對另一與此軸平行的任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為(3-8)其中m為質(zhì)心的質(zhì)量,d為兩平行軸之間的距離。這就是平行軸定律。由此可知,質(zhì)心對通過剛體的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩JC最小,而對任何與過剛體的軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J都小于JC。例3-4一根質(zhì)量為m、l的均勻細(xì)棒,繞通過棒的一端并與棒相垂直的轉(zhuǎn)軸在旋轉(zhuǎn),求細(xì)棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩解法1(定義法):將棒的中點(diǎn)取為座標(biāo)原點(diǎn),構(gòu)建座標(biāo)系Oxy,取y軸為轉(zhuǎn)軸,如圖所示。在距離轉(zhuǎn)軸為x處取棒元dx,其質(zhì)量為由式有解法2(平行軸定律法):將例題3-4看為例題5-1的轉(zhuǎn)軸由剛體向外平移了,按照平行軸定律,則有借助平行軸定律除了可以便捷地估算轉(zhuǎn)7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

9、動(dòng)力矩,并且對研究滾動(dòng)問題也是大有幫助的。§3-3質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理在解決質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題時(shí),牛頓第二定理十分有效,這么,怎么解決質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)問題呢?1.力對定軸的扭矩日常生活經(jīng)驗(yàn)告許我們,用同樣大小的力推開門,當(dāng)作用點(diǎn)緊靠門軸時(shí),不容易把門打開;當(dāng)作用點(diǎn)遠(yuǎn)離門軸時(shí),門就容易推開;當(dāng)力的作用線通過門軸或力的方向和門軸平行時(shí),就不能把門推開。實(shí)踐表明,為了改變質(zhì)心原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),必須對質(zhì)心施加斥力。外力對質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的影響,除了與斥力的大小有關(guān),并且與力的方向和作用點(diǎn)的位置有關(guān),即要改變質(zhì)心原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就必須考慮斥力的大小、方向和作用點(diǎn)三要素。因此,我們引入扭力這一數(shù)學(xué)量。圖3-57cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

10、力矩如圖所示,設(shè)轉(zhuǎn)軸O垂直于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)平面,力和作用點(diǎn)的矢徑都在平面內(nèi),力與矢徑的傾角為,我們定義斥力對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩為(3-9)扭矩的大小為(3-10)令,則d是轉(zhuǎn)軸O與斥力線間的垂直距離,稱為力臂。扭矩方向用左手螺旋法則確定:伸開雙手,四指先指向矢徑方向,沿大于180度轉(zhuǎn)向斥力的方向,則手指所指方向就是轉(zhuǎn)矩的方向。如圖3-29所示。假若外力不在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi),可將分解為兩個(gè)分力,一個(gè)分力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi),另一個(gè)分力與轉(zhuǎn)軸平行,對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用。當(dāng)質(zhì)心同時(shí)遭到幾個(gè)轉(zhuǎn)矩作用時(shí),合扭矩等于各個(gè)轉(zhuǎn)矩的代數(shù)和。在國際單位制中,扭矩的單位是牛頓米,符號(hào)為Nm。2.轉(zhuǎn)動(dòng)定理在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

11、動(dòng)時(shí),牛頓第二定理給出了合外力和加速度的關(guān)系。在研究質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)時(shí),因?yàn)橘|(zhì)心用各質(zhì)點(diǎn)的合內(nèi)力為0,在此不討論合內(nèi)轉(zhuǎn)矩。質(zhì)心在外扭矩的作用下作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),我們可以將質(zhì)心界定為n個(gè)質(zhì)元,每一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)均應(yīng)遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定理,即對質(zhì)元的扭力(3-11)此式表明質(zhì)心做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),質(zhì)心對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩與其角加速度的乘積等于質(zhì)心所受外力的合外轉(zhuǎn)矩,稱為質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理。牛頓第二定理是解決質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題的基本多項(xiàng)式,轉(zhuǎn)動(dòng)定理是解決質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題的基本多項(xiàng)式。假如質(zhì)心所受的合外扭力為零,則由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可知角加速度為零,即質(zhì)心處于靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。例3-5一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為5kg·m2、直徑為0.50m7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

12、的飛輪,正以角速率120rad/s的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)用閘瓦將其剎車,假如閘瓦對飛輪的正壓力為1000N,閘瓦與飛輪之間的磨擦系數(shù)為0.60。求:1)從開始剎車到停止,飛輪轉(zhuǎn)過的角度;2)閘瓦對飛輪施加的磨擦扭矩所作的功。解:1)為了求得飛輪從剎車到停止所轉(zhuǎn)過的角度,必須先求得磨擦力、摩擦扭矩M和飛輪的角加速度。如圖所示,飛輪的轉(zhuǎn)軸垂直于紙面,角速率順著轉(zhuǎn)軸并指向讀者,我們?nèi)〗撬俾实姆较驗(yàn)閦軸正方向。磨擦力的大小等于磨擦系數(shù)與正壓力的乘積,即磨擦力的方向如圖所示。磨擦力對z軸扭矩M的方向與角速率方向相反,沿z軸的負(fù)方向,故需取負(fù)值,大小為依據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,可知飛輪遭到磨擦扭矩作用時(shí)的角加速度7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

13、為負(fù)值,即對于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng),從開始剎車到停止,飛輪轉(zhuǎn)過的角度可由求得,即例3-6一均勻細(xì)捧長L,如圖所示懸掛。求將A端懸線割斷頓時(shí)。細(xì)捧繞O的角加速度。解:設(shè)棒的質(zhì)量為m。因?yàn)镺點(diǎn)懸線張力通過O點(diǎn)。對O的轉(zhuǎn)矩為零,所以在A點(diǎn)懸線割斷頓時(shí),棒所受的扭矩僅有重力轉(zhuǎn)矩。對過O且垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸有M=mg·L/4以O(shè)為原點(diǎn)構(gòu)建如圖所示座標(biāo)系,棒對過O且垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為§3-4質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能1.扭矩的功我們早已曉得,假若質(zhì)點(diǎn)在外力作用下沿力的方向位移則力對質(zhì)點(diǎn)作功,且功可由斥力和質(zhì)點(diǎn)在斥力下沿力的方向位移的乘積表示。質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)過程中力作的功以轉(zhuǎn)矩的方式表示7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

14、,扭力作功的情況與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中外力作功的定義類似。質(zhì)心在外力的作用下沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)了,繞轉(zhuǎn)軸角位移,從轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑為,則力的作用點(diǎn)的位移的大小為,因此有(3-12)將扭矩代入,因而有(3-13)即力對轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心作的元功等于相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩和該扭矩作用下所發(fā)生的角位移的乘積。則此轉(zhuǎn)矩對質(zhì)心做功為(3-14)上式稱為轉(zhuǎn)矩的功,扭矩所做的功,實(shí)質(zhì)上仍是力所做的功。假如質(zhì)心同時(shí)受幾個(gè)力的作用,則扭力應(yīng)理解為這幾個(gè)力的合轉(zhuǎn)矩。依據(jù)功率的定義,可得扭矩的功率為(3-15)扭力做功的功率等于扭矩和質(zhì)心角速率的乘積,當(dāng)扭矩與角速率同向時(shí)功率為正,反之為負(fù)。這兒的功的SI單位是焦耳(J),功率的S7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

15、I單位是瓦特(W),和質(zhì)點(diǎn)熱學(xué)中的一致。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定律是由牛頓第二定理導(dǎo)入的,相類似的是質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律將由轉(zhuǎn)動(dòng)定理導(dǎo)入,扭力對轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心作的元功為在外扭矩作用下,角速率由弄成時(shí),外扭矩對質(zhì)心做的功為(3-16)此式稱為質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律。表明,質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)如何證明角動(dòng)量守恒定律,質(zhì)心所受合外扭矩所做的功等于剛轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。§3-5角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理在上面,我們曾用動(dòng)量來描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),引入了動(dòng)量定律和動(dòng)量守恒定理,它們?yōu)榻鉀Q質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)帶來好多便捷。在研究轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí),我們也可類似地引入角動(dòng)量、角動(dòng)量定律和角動(dòng)量守恒定理,它們在解決轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)同樣會(huì)給我們帶來極大的7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

16、方便。1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定理1)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P,它對O點(diǎn)的位置矢量為,并具有速率。質(zhì)點(diǎn)P對O點(diǎn)的角動(dòng)量(曾稱為動(dòng)量矩)為(3-17)質(zhì)點(diǎn)P相對于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與其動(dòng)量的矢積。角動(dòng)量是一個(gè)矢量,它的方向垂直于矢量和m組成的平面,兩者的方向滿足左手螺旋法則,即左手四指由經(jīng)大于的角轉(zhuǎn)向m時(shí),手指的指向就是的方向。其大小為(3-18)式中為與m之間的傾角。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與參考點(diǎn)O密切相關(guān),因而在述說質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí),必須指明是對哪一點(diǎn)的角動(dòng)量。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),。因?yàn)椋蚨梢詫懗伞S捎谫|(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),其轉(zhuǎn)動(dòng)力矩,所以角動(dòng)量又可7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

17、表示為此關(guān)系在轉(zhuǎn)動(dòng)中普遍適用,其實(shí)的方向垂直于平面,即與的方向相同。在國際單位制中,角動(dòng)量L的單位是,其量綱為。2)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定律我們?nèi)匀恢赋鰧①|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)比較學(xué)習(xí),在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中,質(zhì)點(diǎn)所受合外力與其動(dòng)量的關(guān)系為,這么在質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中,其所受合外扭力與其角動(dòng)量的關(guān)系怎么呢?角動(dòng)量的定義為,對其兩側(cè)微分得因?yàn)椋蚨驗(yàn)椋砸驗(yàn)椋詾榇俗饔迷谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)上的合外扭矩等于該質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量對時(shí)間的變化率,稱為質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定律。3)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定理當(dāng)成用于質(zhì)點(diǎn)的合外扭力為零()時(shí),由角動(dòng)量定律可以導(dǎo)入角動(dòng)量守恒定理。當(dāng)合外扭力為零時(shí),J=恒量或(3-19)即當(dāng)物體所受的合外7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

18、力矩為零時(shí),物體的角動(dòng)量J保持不變,這一推論稱為角動(dòng)量守恒定理。2.質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定律和角動(dòng)量守恒定理1)質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定律質(zhì)心以角速率繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),質(zhì)心的各質(zhì)元均繞z軸做圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)量為的質(zhì)元到軸的距離為,速率為,則質(zhì)元對z軸角動(dòng)量為。質(zhì)心中所有質(zhì)元的角動(dòng)量之和稱為質(zhì)心對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量,用表示,則(3-20)這樣質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理也可表示為(3-21)此式為矢量式,表示當(dāng)質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),作用在質(zhì)心的合外扭矩等于質(zhì)心繞該軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率,這是用角動(dòng)量表示的轉(zhuǎn)動(dòng)定理,更具有普遍意義,雖然繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J因內(nèi)力發(fā)生變化時(shí)依然適用。這與牛頓第二定理的表達(dá)式比更7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

19、具有普遍意義是一樣的。設(shè)有一轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為J的質(zhì)心繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng),在合外扭矩的作用下,由時(shí)間t1到t2的時(shí)間內(nèi),其角速率由變?yōu)?由式(2-99)可得(3-22)式中稱為轉(zhuǎn)矩對給定軸的沖量矩。轉(zhuǎn)動(dòng)物體遭到的沖量矩等于物體在這段時(shí)間頂角動(dòng)量的增量,這一關(guān)系稱為角動(dòng)量定律。2)角動(dòng)量守恒定理當(dāng)成用于轉(zhuǎn)動(dòng)物體的合外扭力為零()時(shí),由角動(dòng)量定律可以導(dǎo)入角動(dòng)量守恒定理。當(dāng)合外扭力為零時(shí),J=恒量或(3-23)即當(dāng)物體所受的合外扭力為零時(shí),物體的角動(dòng)量J保持不變,這一推論稱為角動(dòng)量守恒定理。角動(dòng)量守恒定理與動(dòng)量守恒定理和能量守恒定理一樣,適用范圍趕超牛頓定理。它們即適用于研究接近光速粒子的相對論,也適用于7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

20、研究亞原子的量子熱學(xué)。3空間旋轉(zhuǎn)對稱性和角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定理的普遍性在于它和空間旋轉(zhuǎn)對稱性相關(guān)聯(lián)。空間的旋轉(zhuǎn)對稱性亦稱為空間各向同性,即空間所有方向?qū)瘜W(xué)定理等價(jià),沒有哪一個(gè)方向比其他方向更優(yōu)越。因?yàn)閿?shù)學(xué)定理在所有方向上方式相同,任一給定實(shí)驗(yàn)的發(fā)展進(jìn)程與該實(shí)驗(yàn)裝置在空間的取向無關(guān),所以空間的絕對方向是不可觀測的。這就意味著,假若一個(gè)孤立系統(tǒng)在空間某個(gè)角位置具有角動(dòng)L這么在另一個(gè)角位置也應(yīng)具有相同的角動(dòng)量L。否則這兩個(gè)方向的數(shù)學(xué)定理將不相同。孤立系統(tǒng)的角動(dòng)量保持不變,這就是角動(dòng)量守恒定理。為了有助于從整體上系統(tǒng)的理解熱學(xué)規(guī)律,我們把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律列為下表對比。通過對比7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

21、可以加深對質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的理解,幫助記憶。表2-3質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速率角速率加速度角加速度力扭矩質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)力矩I=運(yùn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理動(dòng)量、動(dòng)能動(dòng)量、動(dòng)能角動(dòng)量角動(dòng)量動(dòng)量定律角動(dòng)量定律動(dòng)量守恒,=恒量角動(dòng)量守恒,=恒量動(dòng)能定律動(dòng)能定律例3-9如圖所示,長為L,質(zhì)量為m1的均勻細(xì)棒能繞一端在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí),細(xì)棒靜止于豎直位置。現(xiàn)有一質(zhì)量為m2的炮彈,以水平速率v0射入細(xì)棒上端而不射出。求細(xì)棒和炮彈開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速率?剖析:因?yàn)樽訌椛淙爰?xì)棒的時(shí)間極短,我們可以近似地覺得:在這一過程中,細(xì)棒一直靜止于豎直位置7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

22、。因而,對于炮彈和細(xì)棒所組成的系統(tǒng)(也就是研究對象)在子彈射入細(xì)棒的過程中,系統(tǒng)所受的合外力(重力和軸的支持力等)對轉(zhuǎn)軸O的扭矩都為零。按照角動(dòng)量守恒定理,系統(tǒng)對于O軸的角動(dòng)量守恒。解:依題意可設(shè)和分別為系統(tǒng)開始的速率和角速率,且已知炮彈和細(xì)棒對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩分別為和,依據(jù)角動(dòng)量守恒定理則有:當(dāng)M=0時(shí),所以解多項(xiàng)式,可得。*§3-6進(jìn)動(dòng)當(dāng)陀螺不旋轉(zhuǎn)時(shí),因?yàn)槭苤嘏ちψ饔茫鼤?huì)翻倒在地。但當(dāng)陀螺繞自身對稱軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí),雖然同樣遭到重扭力的作用,卻不會(huì)倒出來。陀螺一邊自轉(zhuǎn)一邊繞豎直¢軸平緩轉(zhuǎn)動(dòng),這些運(yùn)動(dòng)稱為進(jìn)動(dòng)。我們用角動(dòng)量定律來剖析陀螺進(jìn)動(dòng)的機(jī)理。陀螺所受重力7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

23、矩即因?yàn)椋遗c方向一致,因而重力的扭矩只改變角動(dòng)量的方向而不改變其大小,則矢量的端點(diǎn)將繞豎直軸作圓周運(yùn)動(dòng),直徑是Lsin,此圓周運(yùn)動(dòng)的角速率就是陀螺旋進(jìn)的角速率,即因則旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)在技術(shù)上有廣泛應(yīng)用。諸如在炮膛和槍管內(nèi)壁刻上螺旋形來復(fù)線,使彈體射出后高速旋轉(zhuǎn)。這樣空氣阻轉(zhuǎn)矩就只能使彈體繞前進(jìn)方向旋因而不造成其翻轉(zhuǎn)。在民航和航海中常年用于導(dǎo)航的陀螺儀就是按照進(jìn)動(dòng)的原理設(shè)計(jì)的。當(dāng)前,在航天、導(dǎo)彈、航空和航海中用于導(dǎo)航的為光纖陀螺儀。例4求質(zhì)量m、半徑R的圓環(huán)對半徑的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩(見圖)。解:設(shè)圓環(huán)質(zhì)量線密度為=m/2R在環(huán)上取質(zhì)元dmdm=dl=Rddm到半徑AB的距離r=Rsi7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

24、n圓環(huán)對半徑的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩例5求質(zhì)量m、半徑R的球殼對半徑的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩(見圖)解:設(shè)球殼質(zhì)量面密度為=m/4R2將球殼視為由許多環(huán)面與半徑AB垂直的圓環(huán)組成。以這樣的圓環(huán)為積分元,其質(zhì)量為dm=dS=·2r·Rd環(huán)直徑為r=Rsin球面對半徑的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為例6求質(zhì)量m、半徑R的圓球?qū)Π霃降霓D(zhuǎn)動(dòng)力矩(見圖10)。解:圓球的密度為將圓球視為由許多同心球殼組成。以直徑為r,厚為dr的球殼為積分元,其質(zhì)量為dm=dV=·4r2dr由例5的結(jié)果,dm對半徑AB的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為圓球?qū)Π霃降霓D(zhuǎn)動(dòng)力矩為為在估算質(zhì)心對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩時(shí)還經(jīng)常運(yùn)用以下法則:例8兩個(gè)勻質(zhì)7cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

25、圓盤,一大一小,同軸地黏結(jié)在一起,構(gòu)成一個(gè)組合輪,小圓盤的直徑為r,質(zhì)量為m;大圓盤的直徑r'2r,質(zhì)量m'2m。組合輪可繞通過其中心且垂直于大盤的光滑水平固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng),對O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩J9mr2/2。兩圓盤邊沿上分別繞有輕質(zhì)細(xì)繩,細(xì)繩上端各懸掛質(zhì)量為m的物體A和B如圖14所示。這一系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng),繩與盤無相對滑動(dòng),繩的寬度不變。已知r1010cm,求組合輪的角加速度。解:各物體受力情況如圖14所示。對物體A、B分別應(yīng)用牛頓第二定理,對車鉤用轉(zhuǎn)動(dòng)定理有T-mg=mamg-T'=ma'T'·2r-Tr=9mr2/2又由角量和線量的關(guān)系a=ra'=2r從以上各色可以解出組合輪的角加速度437cM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

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