在2025年的時候，有個高中物理知識競賽，其中出現了模型，還有建模在物理當中的應用測試，這一項是第三項。它有前沿物理模型的拓展，還有深化。其中的粒子物理，會涉及標準模型的守恒律應用。在2025年那次物理競賽的模型構建里，粒子物理這塊的守恒律應用，已經從基礎概念朝著深度分析去延伸了。就好比，在重子數與輕子數守恒的考查時，需要建立正負電子對撞產生介子的反應模型，再通過量子數分析，來判斷反應的可行性。具體模型構建所要包含的步驟如下：首先，要辨明反應初態粒子的重子數，其均為0 ，還要知道輕子數，電子是 +1 ，正電子是 -1 ，二者總和為0 ；接著，依據末態粒子的量子數組合，像π?介子重子數0 、輕子數0這樣，去驗證守恒性。這類模型常常會結合相對論性能量動量關系，要求借助四維動量不變量來計算反應閾值能量，也就是運用公式(E^2 - p^2c^2 = m_0^2c^4)推導出總能量與靜質量的關系，以此展現從粒子物理現象再到數學方程的完整建模過程 。凝聚態物理里，能帶理論的初步模型，已跨越了傳統晶格振動的范圍，引入了能帶理論經簡化后的模型。有典型問題，像二維方格子的電子能帶結構，要構建緊束縛近似模型，把晶體中電子的波函數，表達成原子軌道波函數的線性組合，通過求解久期方程得出能量本征值與波矢的關系。參加競賽時，常常會被要求去計算特定方向，像沿著k_x軸那般的能帶色散關系，借助近鄰近似來對哈密頓矩陣予以簡化，進而得出(E(k_x)=E_0-2tcos(k_xa))，這里面t是躍遷積分，a是晶格常數的情況。這類模型是需要結合周期性邊界條件的，要去分析布里淵區邊界的能隙形成機制，以此來體現從晶體結構到量子態密度的建模邏輯。（三）天體物理當中的黑洞熱力學模型，黑洞熱力學模型于競賽里呈現為史瓦西黑洞的熵與溫度計算。依照霍金輻射理論來講，黑洞的溫度，也就是（T 等于(hbar c^3)除以 8），它和質量 M 呈現出反比的關系，而熵（S 等于(A k_B c^3)除以 4G(hbar)），與視界面積（A 等于 4π乘以((2GM/c^2)^2)）是成正比的關系。實際進行建模時，需要處理兩個關鍵的環節，其一呢，是要借助維度分析去驗證溫度公式的合理性，進而確定各個物理常數，也就是 h bar、c、G、k 下標 B 的指數組合；其二是要結合熱力學第一定律 dU 等于 TdS 來推導黑洞質量隨著輻射的變化率，從而建立起微分方程 dM 比 dt 等于負的 CM 的負二次方，（這里的 C 是常數）高中物理典型物理模型，再通過分離變量積分得出質量衰減的時間演化規律，即 M 關于 t 的三次方等于 M 下標 0 的三次方減去 3Ct 。是此類模型將天體物理現象跟熱力學定律以及微分方程求解深度予以結合，進而展現宏觀與量子效應的交叉建模能力。二、建模能力的核心要素跟考查維度，（一）問題抽象與模型簡化能力留學之路，從復雜物理情境中將獲取關鍵要素的能力當做建模核心。依據2025年復賽里頭的“磁光陷阱與原子探測”這道題目為例，實際存在的物理系統涵蓋著激光場、磁場、原子的多體相互作用，然而在建模的時候需要簡化成以下這些關鍵假設：把原子看作是兩能級系統（也就是基態(^1S_0)以及激發態(^1P_1)），將激光場視作沿著三軸往相反方向傳播的圓偏振光，把磁場簡化為四極場（梯度(/)是常數）。構建原子所受輻射壓力與磁場梯度力的平衡方程，是通過忽略原子反沖、光場退相干等次要因素來達成的。這一平衡方程具體為，輻射壓力的表達式為(F_{text{輻射}}=hbarkGamma/2cdotI/I_s/(1+I/I_s+(2delta/Gamma)^2)) ，磁場梯度力的表達式為(F_{text{磁場}}=\/) ，其中(delta=-)為失諧量，(Gamma)為自發輻射率 。這種模型簡化進程，要求考生擁有清晰的主次因素判別能力，展現科學建模的本質思維。（二）跨領域知識遷移用以構建模型，針對多學科交叉問題的建模能力，著重對知識遷移展開考查。像“約瑟夫森結與超導量子計算”這道題，需要把超導物理跟電路理論相融合：把約瑟夫森結視作非線性電感元件，其電流與電壓的關系符合：(I=I_csinphi)（(phi)為相位差）以及(dphi/dt=2eV/hbar)，并與外電路里的電阻R、電容C構成RLC振蕩模型。1. 完整建模步驟包含，建立等效電路方程，此方程為V=IR+LdI/dt+V_J 。 2. 接著代入約瑟夫森關系從而得到微分方程，該微分方程是d^2phi/dt^2+(1/RC)dphi/dt+(2eI_c/hbarC)sinphi=2eV_0/ 。 3. 然后在直流偏壓的情形下分析相位鎖定現象，借助于小信號近似把非線性方程加以線性化，進而求解臺階的電流量子化條件 。 4. 此類問題有著這樣的要求，要把量子物理概念轉化成電路模型，以此展現出跨學科知識的整合能力 。三、數學工具于建模里的深度運用（一）微擾論去處理非簡諧振動，微擾論已然變成處理復雜系統的標準工具，以弱非線性振子當作例子，哈密頓量（H等于p平方除以(2m)加上(1/2)乘m平方乘x平方加上x四次方）（x遠小于1擔任小參數），需要借助定態微擾論來計算基態能量修正。其建模步驟如下，首先，寫出零級波函數，此波函數為(psi_0^{(0)}(x)=(alpha/sqrt{pi})^{1/2}e^{-alpha^2x^2/2})，其中(alpha=sqrt{m/hbar}) ；接著，計算一級能量修正，即(E_0^{(1)}=|^4|0) ，借助積分公式(^4=3/(4alpha^4)) 得出(E_0^{(1)}=3\hbar^2/(4m^2^2)) ；最后，二級修正要考慮中間態求和，借助玻色產生湮滅算符來表示(x^4) ，運用對易關系化簡矩陣元 。這種模型需要把控微擾論適用條件的判斷，掌握修正項計算的數學技巧，展現出數學工具于物理問題方面那精確無比的描述能力。（二）各類特殊函數包括貝塞爾函數等，在電磁學里的應用，已歸入競賽建模范疇了 。像關于圓柱形電容器的電場分布方面的問題，當內筒呈現螺旋形電荷分布的狀況時，電勢是符合拉普拉斯方程的（也就是nabla^2Phi=0 ），在柱坐標系里通過分離變量得出徑向方程（即 r^2R''+rR'+(k^2r^2-n^2)R=0 ），這個方程的解是貝塞爾函數（也就是 R(r)=J_n(kr)+Y_n(kr) ）。在結合邊界條件時，也就是r等于a的地方（此時電勢等于V_0乘以cos(n乘以phi)）高中物理典型物理模型，以及r等于b的地方（此時電勢等于0），來確定系數，進而得到電勢分布（電勢分布為(sum_n)），。
(kr)+(kr)
對于(cos(nphi)))，此類問題需要去理解特殊函數所具備的物理意義，要憑借邊界條件來確定本征值，進而展露出數學建模所擁有的嚴謹性。（三）數值估算以及量綱分析技巧，量綱分析作為一種快速建模工具，在復雜問題當中有著重要的應用。比如說估算太陽中微子的穿透深度，需要借助量綱分析來構建表達式：對穿透深度d產生影響的物理量涵蓋了中微子能量E、電子數密度n、弱相互作用截面((sigma^2E^2))（其中((G_F))代表費米常數）。經過憑借量綱式(d^{-1}sigma^{-1})，將(sigmasim(10^{-5}GeV^{-2})E^2)代入其中，n取值為103?m?3，E為1MeV，進而得出d約為101?m，此數值遠遠大于太陽半徑（7×10?m），借此判定中微子幾乎沒有阻礙地穿透太陽。這般的量綱分析與數值估算相結合的辦法，是用以解決復雜物理問題的高效建模路徑。其四、針對典型案例展開的建模整個過程進行分析，其一為案例一：涉及真空激光加速與輻射阻尼模型，問題情境是，電子于超強激光場里加速，要考慮輻射阻尼效應，進而計算電子能量隨著時間的變化情況。模型構建方面，物理抽象為，激光場被簡化成沿著z軸傳播的平面波（{E}=E_0sin(kz - )hat{x}），電子的初始速度是(v_0llc) ，輻射阻尼力運用經典公式（{F}_{text{rad}}=(2e^2/3c^3)dot{{a}}） 。運動方程，是依據牛頓第二定律，也就是(d{p}/dt=e{E}+{F}_{text{rad}})，處于非相對論近似的狀況下，這里的非相對論近似是({p}\{v})，此時的加速度要滿足({a}=e{E}/m+(2e^2/(3mc^3))ddot{{a}}) 。近似進行這樣的處理：即在弱阻尼條件之下，將阻尼力的二階導數項予以忽略，進而得到這樣的式子，((ddot{x}-taudddot{x}=(eE_0/m)sin(kz-))，這里的(tau=2e^2/(3mc^3))就是所謂的特征時間 。求解答以及展開討論：借助傅里葉變換把微分方程轉變為代數方程，進而解得振幅，此振幅為(A(omega)等于eE_0除以m再除以(omega^2加上i乘以omega^3乘以tau))，接著對輻射阻尼致使的振幅衰減以及相位移動予以分析，等到(omegatau遠小于1的時候又回到了無阻尼的結果，當(omegatau近似等于1的時候則需要考慮相對論修正。（二）案例二：量子霍爾效應和接觸電阻模型問題情境：測量量子霍爾效應之際，針對樣品接觸電阻對測量結果的影響展開分析。模型構建方面，電路模型是這樣的，把霍爾樣品視作為四端網絡，電流端接觸電阻，也就是R_c，它與樣品本體電阻，即R_H，也就是霍爾電阻，二者是串聯的，而電壓測量端存在著寄生電阻，也就是R_p。至于誤差分析，實際測量電阻是等于R_H加上2倍的R_c再加上R_p，當R_H等于h除以ne的平方，這里n為整數時，需要通過測量不同電流下的曲線，借助線性擬合外推得出R_H，也就是截距，以及接觸電阻，也就是斜率相關項。量子修正，當考慮邊緣態輸運之際，接觸電阻模型要修正為和費米能級有關聯的量子電阻，借助公式（R_c=h/(2e^2)·1/T(1-T)），其中T為透射系數，來剖析理想接觸（T=1）時，R_c貼近于0的這個極限情形。（三）案例三：自聚焦光纖的幾何光學模型，問題情境：針對折射率隨著徑向距離產生變化的光纖，對其中光線傳播軌跡展開分析，(n(r)=n_0sqrt{1-2Delta(r/a)^2})（(Deltall1)，a是纖芯半徑）。模型構建：光線方程：在柱坐標系的情形下，光線軌跡滿足(d^2r/dphi^2+r=(n/r)dn/dr((dr/dphi)^2+r^2))，把折射率分布代入后會得到非線性微分方程。進行近似求解：促使(u等于1除以r)，把方程朝著線性方向轉化為(對u關于phi進行二次求導之后再加上) 。
1-2Delta(1/(a^2u^2))
u等于0)，在近軸近似這么一種情況下（(r)，(u除以a)）被簡化成(d的平方u除以d(phi)的平方加上(1減去2倍Delta)u等于0)。對軌跡展開分析：求解。