1、剛體定軸轉動的角動量定律和角動量守恒定理質心定軸轉動的角動量定律和角動量守恒定理l質心定軸轉動對軸上一點的角動量質心定軸轉動對軸上一點的角動量（自學）（自學）：結結論：論：通常情況下，質心定軸轉動對軸上一點的角動通常情況下，質心定軸轉動對軸上一點的角動量并不一定沿角速率（即轉軸）的方向，而是與其量并不一定沿角速率（即轉軸）的方向剛體的角動量定理公式，而是與其成一定傾角；成一定傾角；但對于質量分布與幾何形狀有共同對但對于質量分布與幾何形狀有共同對稱軸的質心，當繞該對稱軸轉動時，質心對軸上任稱軸的質心，當繞該對稱軸轉動時，質心對軸上任一點的角動量與角速率的方向相同一點的角動量與角速率的方向相同.現今討論扭力
2、對時間的積累效應。現今討論扭矩對時間的積累效應。對于對于定軸轉動質點系：定軸轉動質點系：質點系：質點系：（質點系的角動量定律）（質點系的角動量定律）MdtdL外對點：對點：dLMdt外l現今討論扭矩對時間的積累效應。現今討論扭矩對時間的積累效應。（定軸角動量守恒定理）（定軸角動量守恒定理）（可以不是質心，也可以是一個或幾個質心）（可以不是質心，也可以是一個或幾個質心）假如假如0M外，（角動量守恒定理）（角動量守恒定理）L常量則則假如假如0zM，常量常量zL則則質心定軸轉動的角動量定律和角動量守恒定理質心定軸轉動的角動量定律和角動量守恒定理1.質心定軸轉動（對軸）的角動量質心定
3、軸轉動（對軸）的角動量ii.質心定軸轉動的角動量定律質心定軸轉動的角動量定律()iiirmr()2()iiimr=tdLLL則則質心作定軸轉動的轉動質心作定軸轉動的轉動力矩力矩保持不變，則保持不變，則I質心定軸轉動的角動量定律質心定軸轉動的角動量定律tII3質心定軸轉動的角動量守恒定理質心定軸轉動的角動量守恒定理0MLI常量，則，則若若l非質心定軸轉動的角動量定律非質心定軸轉動的角動量定律tIIl質心角動量定律
4、：質心角動量定律：作用在質心上的沖量矩等于質心角動量的增量。作用在質心上的沖量矩等于質心角動量的增量。3質心定軸轉動的角動量守恒定理質心定軸轉動的角動量守恒定理0MLI常量，則，則若若l若系統對定軸的外扭力之和為零，則系統對此固定若系統對定軸的外扭力之和為零，則系統對此固定軸的角動量守恒。軸的角動量守恒。-對定軸的角動量守恒對定軸的角動量守恒若質心由幾部份組成，且都繞同一軸轉動，若質心由幾部份組成，且都繞同一軸轉動，但角動量可在內部傳遞。但角動量可在內部傳遞。c.，當當時時角動量守恒定理是自然界的一個基本定理角動量守恒定理是自然界的一個基本定
5、律.內扭力不改變系統的角動量內扭力不改變系統的角動量.守守恒條件恒條件:0M若若不變，不變，不變；若不變；若變，變，也變，但也變，但不變不變.ILII3質心定軸轉動的角動量守恒定理質心定軸轉動的角動量守恒定理0MLI常量，則，則若若討論討論在在沖擊沖擊等問題中等問題中L常量常量有許多現象都可以有許多現象都可以用用角動量守恒角動量守恒來說明來說明.自然界中存在多種守恒定理自然界中存在多種守恒定理2動量守恒定理動量守恒定理2能量守恒定理能量守恒定理2角動量守恒定理角動量守恒定理2電荷守恒定理電荷守恒定理2質量守恒定理質量守恒定理2宇稱守恒定理等宇稱守恒定理
6、等花樣溜冰花樣溜冰跳水運動員跳水跳水運動員跳水圓圓柱錐擺擺子炮彈彈擊擊入入桿桿ov以炮彈和桿為系統以炮彈和桿為系統機械能機械能不不守恒守恒.角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；以炮彈和沙包為系統以炮彈和沙包為系統動量守恒動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒.圓柱擺系統圓柱擺系統動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒.討討論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩質質量量不不計計下邊幾種情況系統的動量、角動量和機械能下邊幾種情況系統的動量、角動量和機械能是否守恒？是否守恒？例例:質量很小寬度為質量很小寬度為l
7、的均勻細桿的均勻細桿,可繞開其中心可繞開其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平當細桿靜止于水平位置時位置時,有一只蟲子以速度有一只蟲子以速度垂直落在距點垂直落在距點O為l/4處處,并并背離點背離點O向細桿的端點向細桿的端點A爬行爬行.設蟲子與細桿的質量均為設蟲子與細桿的質量均為m.問問:欲使細桿以恒定的角速率轉動欲使細桿以恒定的角速率轉動,蟲子應以多大速度蟲子應以多大速度向細桿端點爬行向細桿端點爬行?0v220)4(解解:蟲子與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰蟲子與細桿的碰撞視為完全非
8、彈性碰撞，碰撞前后系統角動量守恒撞前后系統角動量守恒l0712v由角動量定理由角動量定律()dLdgrdd2)121(即即考慮到考慮到()例：例：圓盤（圓盤（R，M），人（），人（m）開始靜止，人）開始靜止，人走一周，求盤相對地轉動的角度走一周，求盤相對地轉動的角度.解：解：系統對轉軸系統對轉軸角動量守恒角動量守恒21ImR人人，盤，盤dId21200IdI)(M=0（對地的角位移）（
9、對地的角位移）例：例：圓盤質量圓盤質量M,,直徑直徑R,,J=MR2/2,,轉軸光滑轉軸光滑,,人的質量人的質量m,,開始時，開始時，二者靜止二者靜止求：人在盤上沿邊求：人在盤上沿邊沿走過一周時，盤對地面轉過緣走過一周時，盤對地面轉過的角度的角度解：解：在走動過程中在走動過程中,,人盤系統人盤系統L=const.設設任意任意時刻，人對盤時刻，人對盤:；盤對地；盤對地:則有則有0)(Mml作作業：業：7.4.3.l思思考：考：7.4.1.例例:已知均勻直桿已知均勻直桿((l,,M),),一端掛在光滑水
10、平軸上，開始時靜止一端掛在光滑水平軸上，開始時靜止在豎直位置，有一炮彈（在豎直位置，有一炮彈（m..voo))水平射入而不復出。求桿與炮彈水平射入而不復出。求桿與炮彈一起運動時的角速率一起運動時的角速率..解：解：炮彈步入到一起運動，頓時完成炮彈步入到一起運動，頓時完成.系統（炮彈系統（炮彈+棒）棒）外力：外力：重力、軸的斥力重力、軸的斥力對軸的扭矩為零對軸的扭矩為零角動量守恒角動量守恒動量守恒？動量守恒？201())3/(30()vl方向？方向？22121()或或l結合本章教材習題結合本章教材習題7.3.6（嚴打中
11、心）（嚴打中心），在哪些情況，在哪些情況下，上頁例題中系統下，上頁例題中系統（炮彈與桿）（炮彈與桿）的動量在碰撞嚴打前后的動量在碰撞嚴打前后保持守恒？保持守恒？()/(34)mvMml2()(()碰撞前后系統的動量：碰撞前后系統的動量：(2)所以，系統所以，系統（炮彈與桿）（炮彈與桿）的互相斥力作用在嚴打中心時，的互相斥力作用在嚴打中心時，動量在碰撞嚴打前后保持守恒動量在碰撞嚴打前后保持守恒.系統對軸的角動量守恒系統對軸的角動量守恒例：例：質量為質量為M，長
12、為，長為l的均勻棒，如圖，若用水平力嚴打在離軸下的均勻棒，如圖，若用水平力嚴打在離軸下y處，求：軸反力處，求：軸反力解：軸反力設為解：軸反力設為由轉動定律：由轉動定律：為作用時間為作用時間得到：得到：由剛體運動定律：由剛體運動定律：切向：切向：法向：法向：于是得到于是得到：FlyRx)231()(9例題例題如圖所示，一質量為如圖所示，一質量為m的炮彈以水平速率射入一靜止的炮彈以水平速率射入一靜止懸于頂端長棒的上端，穿出后速率損失懸于頂端長棒的上端，穿出后速率損失3/4，求炮彈穿出
13、后，棒，求炮彈穿出后，棒的角速率的角速率，已知棒長為，已知棒長為l，質量為，質量為M.003()4fdtmvvmv炮彈對棒的反斥力炮彈對棒的反斥力對棒的沖量矩為對棒的沖量矩為fff由解解以以f代表棒對炮彈的阻力，對于炮彈有代表棒對炮彈的阻力，對于炮彈有fldtlf思索題思索題：11、此題能否用炮彈和棒的弱冠動量守恒來作？、此題能否用炮彈和棒的弱冠動量守恒來作？22、子彈和棒的總動量在水方向上是否守恒？、子彈和棒的總動量在水方向上是否守恒？33、若將桿換成軟繩系一質量為、若將桿換成軟繩系一質量為M的
14、重物，在的重物，在水平方向上動量是否守恒？水平方向上動量是否守恒？44、機械能是否守恒？、機械能是否守恒？l質心的重心質心的重心重心重心質心處于不同方位時質心處于不同方位時,重力作用線都要通過的那一點重力作用線都要通過的那一點.如圖如圖,被懸掛質心處于靜止被懸掛質心處于靜止,C為重心為重心,因因C不動不動,可視為可視為轉軸轉軸.由于質心靜止由于質心靜止,所以諸體元重力對所以諸體元重力對C軸合扭力為零軸合扭力為零.)(gmWii則重心座標與剛體座標同，但概念不同則重心座標與剛體座標同，但概念不同.力偶是質量力偶是質量
15、中心，其運動服從剛體運動定律中心，其運動服從剛體運動定律.重心是重力合力作重心是重力合力作用線通過的那一點用線通過的那一點.若取若取典型事例典型事例例題例題如圖如圖(a)表示直徑為表示直徑為R的放水圓弧閘門，可繞圖中的放水圓弧閘門，可繞圖中左方質點轉動，總質量為左方質點轉動，總質量為m,剛體在距轉軸剛體在距轉軸處，閘處，閘門及鋼架對質點的總轉動力矩為門及鋼架對質點的總轉動力矩為,可用鋼絲可用鋼絲繩將圓弧閘門提起放水剛體的角動量定理公式，近似覺得在開始提高時鋼架繩將圓弧閘門提起放水，近似覺得在開始提高時鋼架部份處于水平，圓弧部份的切向加速度為部份處于水平，圓弧部份的切向加速度
16、為a=0.1g，g為為重力加速度重力加速度,不計磨擦不計磨擦,不計水壓強不計水壓強.R32圖圖(a)（1）求開始提高時的瞬時，鋼絲繩對圓弧閘門的拉力）求開始提高時的瞬時，鋼絲繩對圓弧閘門的拉力和質點對閘門鋼架的支承力和質點對閘門鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提高同樣重量的平板閘門）若以同樣加速度提高同樣重量的平板閘門圖圖(b)需拉力是多少？需拉力是多少？TFW圖圖(b)圖圖(a)解解（1）以圓弧閘門及鋼架）以圓弧閘門及鋼架為隔離體，受力如圖為隔離體，受力如圖(a)所示所示.構建直角座標系完善直角座標系Oxy，向向x及及y軸投影得軸投影
17、得依照轉動定律依照轉動定律NT0Razcy32起動時起動時按照剛體運動定律按照剛體運動定律即起動瞬時繩對閘板的拉力為即起動瞬時繩對閘板的拉力為，質點，質點O對閘門鋼對閘門鋼架的支承力豎直向下，大小等于架的支承力豎直向下，大小等于29mg/90.圖圖(b)0NxF(2)用用表示提高平板形閘門所用的拉力，對閘門應用牛表示提高平板形閘門所用的拉力，對閘門應用牛頓第二定理，得：頓第二定理，得：比較前面結果，可見提高圓弧閘門
18、比較前面結果，可見提高圓弧閘門所用的拉力較小所用的拉力較小.mamgFT例題例題如圖表示一種用實驗方式檢測轉動力矩的裝置。待如圖表示一種用實驗方式檢測轉動力矩的裝置。待測質心裝在轉動架上，線的一端繞在轉動架的車鉤上，測質心裝在轉動架上，線的一端繞在轉動架的車鉤上，線與線軸垂直，車鉤的軸體直徑為線與線軸垂直，車鉤的軸體直徑為r，線的另一端通過定，線的另一端通過定滑輪懸掛質量為滑輪懸掛質量為m的重物，已知轉動架力矩為的重物，已知轉動架力矩為I0，并測得，并測得m自靜止開始下落自靜止開始下落h高度的時間為高度的時間為t,求待測物體的轉動求待測物體的轉動力矩力矩I，不計兩軸承處的磨擦，不計
19、滑輪和線的質量，線，不計兩軸承處的磨擦，不計滑輪和線的質量，線的寬度不變的寬度不變.解解分別以質點分別以質點m和轉動系統和轉動系統I+I0作為研究對象，受力作為研究對象，受力剖析如圖剖析如圖.2T)(ra022)12(例題例題如圖所示，將一根質量為如圖所示，將一根質量為m的長桿用細繩從兩端水平的長桿用細繩從兩端水平地掛上去，其中一根繩子忽然斷了，另一根繩內的張力是多少？地掛上去，其中一根繩子忽然斷了，另一根繩內的張力是多少？解解設桿長為設桿長為2l，剛體運動定律和轉動定律給出繩斷的一剎，剛體運動定律和轉動定律給出繩斷的一霎那的運動多項式：那的運動多項式：式中轉動力矩式中轉動力矩。因在此時刻。因在此時刻懸繩未斷的一端的速率為懸繩未斷的一端的速率為0，因而在剛體，因而在剛體的加速度和角加速度之間有的加速度和角加速度之間有2(2)3Iml如下關系：如下關系：cal4.Tmg得繩中張力得繩中張力