當(dāng)光通過(guò)兩種透明媒質(zhì)分界面時(shí)，入射光分為反射光與折射光。這兩部份光行進(jìn)的方向，雖可由反射定理及折射定理決定，但它們的相對(duì)硬度和偏振光的取向，則須由電磁波理論導(dǎo)入的菲涅耳公式來(lái)決定。
菲涅耳公式設(shè)圖1的a和b中A、B為兩種不同的透明媒質(zhì),它們對(duì)真空的折射率分別為n1與n2。二者的交界面為垂直y軸的y＝0平面。這么y軸為該平面的法線，xy為入射面(俗稱投射面)。當(dāng)自然光入射到分界面時(shí)，因?yàn)樽匀还饪煞纸鉃榛ハ啻怪倍一ハ嗒?dú)立的兩個(gè)大小相等的平面偏振，所以可把垂直入射面與平行入射面的電矢量分開(kāi)來(lái)討論。以s表示垂直入射面，p表示平行入射面,則分別表示垂直入射面與平行入射面偏振光的入射光r1、反射光r姈和透射光r2的電矢量。又依照電磁波中E與H方向的規(guī)定,即E垂直H,給出了磁矢量的方向。圖中箭頭表示各矢量在給定r的方向時(shí)的正方向。對(duì)垂直矢量,以z為正方向,即以⊙表示從入射面下來(lái)，指各該矢量的正方向。如今先剖析電矢量垂直入射面的圖1a，在那兒磁矢量是平行入射面的。依照電磁理論的邊界條件：平行邊界的電磁場(chǎng)是連續(xù)的，即邊界那邊的等于邊界另一邊的，于是可導(dǎo)入偏振光垂直入射面的反射光和折射光與入射光的振幅比，分別為(1)
(2)
再同樣剖析電矢量平行入射面的偏振光，得反射光和折射光與入射光的振幅比，分別為這四個(gè)公式稱菲涅耳公式。(3)
(4)
這四個(gè)公式稱菲涅耳公式。
以玻璃平面上的反射為例。設(shè)該玻璃對(duì)空氣的折射率n=n2/n1=1.50,在不同的入射角i1,從菲涅耳公式,得到兩個(gè)不同偏振光的反射光、折射光與入射光振幅的比,如圖2所示。實(shí)驗(yàn)證明它們的關(guān)系是正確的。現(xiàn)今來(lái)討論幾個(gè)特殊情況。
半波損失分兩種情況：
①對(duì)上例入射角為零時(shí)兩種偏振光的反射光振幅與入射光振幅的比值都是(n-1)/(n+1)=0.2,但平行入射面的偏振光為正而垂直入射面的偏振光為負(fù)。按圖1所示的方向，表示反射光的電矢量都有π的位相躍變,即所謂從光疏到光密媒質(zhì)反射時(shí)有半波損失。反射與入射的光強(qiáng)比對(duì)兩種偏振光都一樣。即。故一個(gè)玻璃面,在垂直入射光照射下能反射4％的入射光。因此在光學(xué)透鏡表面上須要涂鍍?cè)鐾改ひ越档头瓷洹＿@門科學(xué)稱薄膜光學(xué)。它的基礎(chǔ)是菲涅耳公式。
②上面已提出在i1=0時(shí)平行入射面的偏振光，反射光與入射光的電矢量之間有π相差。菲涅耳公式還強(qiáng)調(diào)，在i1大于偏化角ip時(shí)為正,等于偏化角時(shí)為0,小于偏化角時(shí)為負(fù)。負(fù)表示的方向與圖1所指的方向相反，即和E捓的位相經(jīng)過(guò)小于ip的反射改變了π。至于是一直相反的。從這個(gè)結(jié)果,可以推出：光從光疏到光密(n2＞n1)媒質(zhì)進(jìn)行折射時(shí)光的折射規(guī)律內(nèi)容，在垂直入射（i1≈0）及掠射時(shí)(i1≈90°)，在媒質(zhì)面上，入射光與反射光的電矢量，不論偏振光垂直入射面或平行入射面，都取相反震動(dòng)方向,分別如圖3所示。這就是所謂從光疏到光密媒質(zhì)反射時(shí)的半波損失。
偏化角從圖2或式(3)，當(dāng)＝0，反射光中沒(méi)有平行入射面的偏振，只有垂直入射面的偏振。因?yàn)閟ini1/sini2=n,此時(shí)i1=ip，得i1＝ip＝tg-1n。對(duì)于n＝1.50的玻璃,ip＝57°。這個(gè)角稱為偏化角，俗稱布儒斯特角，是D.布儒斯特在1815年發(fā)覺(jué)的。
因而在媒質(zhì)面上借助偏化角反射是獲得偏振最簡(jiǎn)單的方式。但在透射光中還有偏振光垂直入射面的成份，故透射光為部份偏振。須要經(jīng)過(guò)多次反射，如激光器共振腔的一端或二端，按布儒斯特角放置平行窗片，經(jīng)窗片多次來(lái)回反射可獲得偏振光平行入射面的偏振。
內(nèi)反射前面討論的從光疏媒質(zhì)到光密媒質(zhì)的反射稱外反射。下邊討論從光密到光疏媒質(zhì)的反射，稱內(nèi)反射。仍采用i1為入射角，i2為折射角，但n1＞n2,n2/n1=1/n光的折射規(guī)律內(nèi)容，仍保持n＞1,菲涅耳公式仍適用。此時(shí)偏化角，全反射極限角。當(dāng)i1＞it，i2＞90°，光全反射。
在外反射中所討論的二偏振的反射光與入射光的位相差δs與δp，可得位相差的差墹墹＝δp-δs=0，當(dāng)i1﹤ip，
墹＝π，
當(dāng)i1＞ip。
圖4a表示外反射中的墹與i1的關(guān)系。但在內(nèi)反射中情況并非這么簡(jiǎn)單，依照估算(5)
。(6)
它們兩者位相差墹為(7)
這結(jié)果可用圖4b來(lái)表示。當(dāng)i1﹤ip,墹＝π，當(dāng)ip＞i1＞it,墹=0。當(dāng)i1＞it,墹是連續(xù)變化,直到i1＝90°,墹＝0。其間有個(gè)最大值。將式(7)微分得最大值在。此時(shí)(n2－1)/2n。取n=1.51,i1=51°20┡,因此得墹＝45°56┡。即如原始入射光中的平行偏振光與垂直偏振光是同位相的，經(jīng)過(guò)在i1＝51°20┡的內(nèi)反射后,兩偏振光形成了45°56┡最大的位相差。菲涅耳構(gòu)想如在玻璃內(nèi)欲得墹＝45°,則從式(7)，得i1＝48°37┡或i1＝54°37┡。將玻璃磨制成如圖5的棱體,當(dāng)平面偏振的偏振光取向與入射面成45°角射入棱體，棱體內(nèi)有兩個(gè)偏振光互相垂直、振幅相等、位相相同的平面偏振，在棱體中進(jìn)行兩次i1＝54°37┡內(nèi)反射,獲得90°的位相差，合并為圓偏振從棱體下來(lái)。實(shí)際上波長(zhǎng)設(shè)計(jì)在5896┱，其結(jié)果可從4200～7600┱范圍內(nèi)做到墹＝90°±0.4°。菲涅耳棱體可稱消色差四分之一波片，見(jiàn)光的偏振光。