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李嬌
DOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.25.244
摘要：本文先定義了扭力和角動量，從質點的牛頓第二定理出發，首先引出質點的角動量定律，又經嚴格的剖析推論，給出不同物體及系統繞定軸轉動時的角動量定律表達式，最后對角動量定律適用對象進行非常說明。
關鍵詞：轉矩角動量角動量定律質點可形變非質心系統
中圖分類號：O313文獻標示碼：A文章編號：1672-3791（2017）09（a）-0244-02
角動量定律是學院數學中的一個重要內容，許多教材在介紹角動量定律時次序是根據這兩種形式進行的，第一種：首先在質點動力學中引出質點的角動量定律，再給出質點系的角動量定律；在講質心的定軸轉動相關內容時，又引出定軸轉動質心的角動量定律。第二種：直接將角動量定律放到了定軸轉動質心這章，由定軸轉動質心的轉動定理推導入定軸轉動質心的角動量定律，再說明假如內部各質點相對于轉軸的位置發生變化時，角動量定律表達式又是如何的。這兩種方法都使中學生不能對角動量定律有一個完整、全面的認識；讓她們認為角動量定律的表達式很混亂，不清楚哪些物體能用角動量定律，該用哪種方式的角動量定律。為了說明角動量定律其適用于所有的物體，包括質點，定軸轉動質心，還有可形變的非質心及系統，本文給出了嚴格的剖析推論。
1轉矩和角動量
在自然界中，常會碰到質點繞一定中心運動的情況，大的如行星繞太陽公轉，地球繞月球運動，小的如原子中電子繞原子核的轉動等。對于這種運動，引入轉矩，角動量，并因而找出它們之間的規律，對于研究轉動問題很有用處。
1.1扭力
1.1.1對參考點的扭矩
在慣性系中，一質量為m的質點，某時刻的位矢為，并受力作用，則力對參考點O的扭矩為：
（1）
由矢量的知識可知，扭矩的大小為即力除以力臂，其中是與的傾角。的方向遵守左手螺旋定則，即左手的四個腳趾由矢量沿
1.1.2對軸的扭矩
我們日常所見的轉動好多是繞某軸進行的，如門繞門軸的轉動，電扇葉繞轉軸的轉動，陀螺的轉動等，在這些情況下，對轉軸起作用的扭矩只是扭力矢量沿轉軸的份量，我們把這一份量稱為力對軸的扭矩，雖然所謂力對軸的扭矩就是力對參考點的扭矩在軸上的投影。
1.2角動量
1.2.1質點對參考點的角動量
如圖1所示，在慣性系中，一質量為m的質點，某時刻的位矢為角動量定理的推導，動量為，則質點對參考點O的角動量為：
（2）
由矢量的知識可知，扭矩方向遵守左手螺旋定則，扭矩的大小為：
（3）
在這兒可以覺得此刻質點做以O為圓心，d為直徑的等效圓周運動，借助圓周運動的線速率和角速率關系：
（4）
將（4）帶入（3），并借助轉動力矩的定義可得：
（5）
1.2.2質點對軸的角動量
與扭矩完全類似的討論可以得出質點對軸的角動量，須要將動量與位矢都投影到過參考點并與軸垂直的平面內，則此時在垂直平面內的動量對參考點的角動量就是動量對軸的角動量。
2質點的角動量定律
列舉質點的牛頓第二定理：
（6）
變型可得：
（7）
因為方向平行于，則，故：
則（7）可變為：
（8）
利使勁矩及角動量概念，（8）可變為：
（9）
（9）左右兩側分別積分得：
（10）
質點對參考點的角動量表明，合外扭力持續作用在質點上一段時間能改變質點的角動量，改變情況為作用于質點的合外扭矩的沖量矩等于多少，質點角動量增量就為多少。
以z軸為例，質點對軸的角動量定律就是將（10）式中，投影到z軸正半軸的份量式，可知它是標量式：
（11）
由上面質點的角動量的知識可知（11）可以變為：
（12）
質點z對軸的角動量定律在實際中的常用式。其中，，是質點繞z軸做等效圓周運動時對z軸的轉動力矩和角速率。
3定軸轉動質點系的角動量定律
一個由n個質點構成的系統，整個系統對同一定軸的角動量定律雖然就是將每位質點對軸的角動量定律加上去，對系統而言就要分辨系統內力和系統外力角動量定理的推導，其中系統內力是系統上面質點間的互相斥力，屬于斥力與反斥力，而一對斥力反斥力的轉矩和為零，故質點系對定軸的角動量定律是系統外扭矩對軸的沖量矩等于系統對軸的角動量增量，表達式為：
（，）（13）
質點系對定軸的角動量定律：
（14）
質點對軸的角動量定律在實際中的常用式。
4定軸轉動質心的角動量定律
借助定軸轉動質心的轉動定理：
（15）
（15）×dt并兩側積分可得：
（16）
定軸轉動質心的角動量定律。
5定軸轉動可形變非質心的角動量定律
當物體是可形變質心時，它繞某一固定軸轉動時，我們剖析它的角動量定律時可利用質點的角動量定律和將可形變非質心分割成質點系來得出。因為非質心在做定軸轉動，在任意瞬時可覺得它里面每位點都在繞同一軸做同方向的圓周運動，每一點的角速率相同，故非質心上每點的角動量方向都相同，大小為，整個非質心的角動量定律就是把它上每點的角動量定律加上去。其中角動量相客場因為同剎那時非質心上每點的角速率都相同，每點的角動量方向都相同，所以整個非質心某個時刻的角動量就等于非質心上所有點的轉動力矩之和除以此刻的角速率，非質心上所有點的轉動力矩之和就是整個非質心的轉動力矩。非質心在定軸轉動過程中發生形變，對軸的轉動力矩發生，角速率也發生變化，所以整個過程中初末時刻的角動量就等于非質心的初末時刻轉動力矩乘初末時刻角速率，最終可得整個定軸轉動非質心的角動量定律就應當為：
（17）
定軸轉動可形變非質心的角動量定律。
6任意系統繞定軸轉動的角動量定律
因為任意系統，無論是純粹的質點系，純粹的剛體系，還可以是質點、剛體、可形變非質心構成的復雜的系統，都可以采用分割法將系統看成是由質點組成的質點系，借助質點系的角動量定律，所有系統繞定軸轉動的角動量定律的表達式可以表示為：
（18）
其中M是系統所受所有外力對定軸的扭矩和，Ji為系統里第i個物體對軸的轉動力矩，和為系統里第個物體對軸的初末角速率。
7結語
本文先定義了扭力和角動量，從質點的牛頓第二定理出發，首先引出質點的角動量定律，又經嚴格的剖析推論，給出不同物體及系統繞定軸轉動時的角動量定律表達式，并最終給出適宜所有物體及系統繞定軸轉動的角動量定律表達式：
（19）
參考文獻
[1]張三慧.學院化學學上[M].上海：復旦學院出版社，2014.