角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用
李澤林，過程武器與控制工程，。
摘要：把握角動(dòng)量守恒定理，并通過習(xí)題深入剖析其應(yīng)用和注意事項(xiàng)。
關(guān)鍵詞：質(zhì)心，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，慣性系。
在研究“質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某一定點(diǎn)或軸線運(yùn)動(dòng)”這類問題時(shí)，經(jīng)常借助“角動(dòng)量守恒定理”來處理這種問題。并且怎樣正確應(yīng)用角動(dòng)量定理解題尤為重要。本文通過對(duì)角動(dòng)量守恒定理詳盡的推論，加深對(duì)定理的理解，以及通過習(xí)題來深入剖析角動(dòng)量守恒的正確應(yīng)用。
1角動(dòng)量守恒定理
1．1質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定理
如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)量為P，相對(duì)于參考
點(diǎn)O的角動(dòng)量為L，其值αsinprL?=，其中α是質(zhì)
點(diǎn)的動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)0的位置矢量r的傾角。其角動(dòng)量的變化量L?等于外力的沖量矩tM??（M為外力對(duì)參考點(diǎn)O的轉(zhuǎn)矩），即dtMdL?=。若M=0，得L?=0，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒。
1．2質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定理
由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，且處于慣性系中，可以推導(dǎo)入作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對(duì)參考點(diǎn)的外扭矩的沖量tMi??∑
，仍等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量的變化量，即
MLi??=?∑。同樣當(dāng)
∑iM時(shí)（即質(zhì)點(diǎn)系的和外扭力為零），質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角=
動(dòng)量守恒。
1．3角動(dòng)量守恒的判定
當(dāng)外力對(duì)參考點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩為零角動(dòng)量定理的內(nèi)容，
∑iM時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參
即0=
考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。有四種情況可
判定角動(dòng)量守恒：①質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不受外力。②所有外力通過參考點(diǎn)。③每個(gè)外力的扭力不為零，但外扭矩的矢量和為零。④內(nèi)力對(duì)參考點(diǎn)的扭矩遠(yuǎn)小于外力對(duì)參考點(diǎn)的合扭矩，即內(nèi)扭矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)超過外扭矩的影響，角動(dòng)量近似守恒。
2角動(dòng)量守恒定理的應(yīng)用
2.1開普勒第二定理，即行星對(duì)太陽的矢徑在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過相等大小的面積
如圖，設(shè)行星的質(zhì)量為m，它相對(duì)太陽的位矢為r，速率為v，走過的路程為s。行星遭到太陽對(duì)它的萬有引力，方向順著它和太
dt
dA
mL2=αsinrmvL=常數(shù)=dt
dA陽的連線，因而行星遭到的外扭力為零，它相對(duì)于太陽所在的點(diǎn)O角動(dòng)量守恒。
=?=mvrL恒矢量
角動(dòng)量的大小為
行星的速度為v=ds/dt。代入得
中,dssinαr為行星對(duì)式太陽的矢徑在dt時(shí)間內(nèi)掃過的面積dA的兩倍，dAr2dssin=α。代入得
因?yàn)榻莿?dòng)量守恒，L是一個(gè)常量，所以
即行星對(duì)太陽的矢徑在相等得時(shí)間間隔內(nèi)掃過的面積相等。dtdsrmdtdsrmLααsinsin==
2.2如圖所示，一根質(zhì)量可以忽視的細(xì)桿，長為2l，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為m的小球B、D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)
量為M的小球A，以一給定速率v0沿垂直于桿DB的方向與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小
球A、B、C、D的速率，并詳盡
討論之后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。
本題粗看是一類彈性碰撞類問題，借助動(dòng)量守恒、能量守恒及竿子牽涉速率來求解。但本題涉及4個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)系，未知量多，借助上述關(guān)系還不能求解。挖掘題中的守恒規(guī)律成為本題的難點(diǎn)，且守恒規(guī)律不易挖掘。
解析①小球A、B碰撞頓時(shí)，球A擠壓B，其斥力方向垂直于桿，使球B獲得沿0v方向的速率Bv。因而在碰撞頓時(shí)使小球C、D的速率也沿0v方向。對(duì)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A組成的系統(tǒng)，碰撞前后動(dòng)量守恒。因?yàn)樾∏駽坐落由B、C、D三球組成的質(zhì)點(diǎn)組的剛體處，所以小球C的速率也就是質(zhì)點(diǎn)組的剛體速率。
可得：
0AC3MMm=+vvv（1）
②質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A是彈性碰撞，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等。碰撞后A、B、C、D的速率分別為Av、Bv、Cv、Dv，得
MD
BCA
V0
BCD11111+22222
MMmm=++vvmvvv（2）
（2）
③對(duì)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞頓時(shí)，在B處遭到A球的斥力，若取B（與B球重合的空間固定點(diǎn)）為參考點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞前后，外扭矩等于零，所以質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量守恒?？傻?span style="display:none">uOZ物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
CD02mlml=+vv（3）
④由桿的剛性條件有：DccBvvvv-=-（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得
C0456MMm=+vv（5）
AmMm-=+vv（6）
BMm=+vv（7）D0256MMm=-
+vv（8）⑤碰撞后各小球的運(yùn)動(dòng)
碰撞后，質(zhì)點(diǎn)組B、C、D不受外力作用，其剛體作勻速運(yùn)動(dòng)，即C0456MMm=+vv，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速率轉(zhuǎn)動(dòng)，角速率的大小為0656BMlMmω-==+Cvvvl。
方向?yàn)槟婷脶樂较颉Ｓ桑?）式可知，碰后小球A的速率的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，因?yàn)镸、m取值不同而造成運(yùn)動(dòng)情形
比較復(fù)雜，即可以使A0v=；A0v且ACvv情境的出現(xiàn)，在此不作詳盡討論。
2.3一質(zhì)量為速率為的炮彈擊中并嵌入一質(zhì)量為1299mm=、長度為L的棒的一端，速率與棒垂直，棒原先靜止于光滑的水平面上，炮彈擊中棒后與棒共同運(yùn)動(dòng)。求棒和炮彈繞垂直于平面的軸的角速率的大小。
由題可知，炮彈和棒構(gòu)成的系統(tǒng)在嚴(yán)打前后所收到的外力為零，因而系統(tǒng)對(duì)任意一定軸的合扭力為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。下邊對(duì)幾種常見的解法做出剖析討論。
常見的錯(cuò)誤解：
取固定z軸（過A點(diǎn)），因子彈嚴(yán)打時(shí)間很短，棒在嚴(yán)打過程中位置可以看做不變。設(shè)嚴(yán)打后系統(tǒng)的角速率為，則按照角動(dòng)量守恒定理得（我剛開始做的解法）
ωAjLvm=01其中mLmjA+=
所以mLmLvm+=
ω
這些錯(cuò)誤的解法到底是錯(cuò)在那里呢？這些解法忽略了角動(dòng)量
守恒定理的應(yīng)用條件，角動(dòng)量守恒定理適用于慣性參考系和形心參考系。若把z軸作為桿過A點(diǎn)的定軸角動(dòng)量定理的內(nèi)容，此時(shí)A點(diǎn)遭到撞擊后做變速運(yùn)動(dòng)，無形之中所選的參考系為非慣性參考系，因此角動(dòng)量對(duì)z軸不守恒，此時(shí)在按照角動(dòng)量守恒定理列舉的多項(xiàng)式自然是錯(cuò)的。
正確的解法為
設(shè)系統(tǒng)的剛體C與桿的中點(diǎn)O距離為d，以系統(tǒng)剛體為z軸，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)剛體的合扭力為零，故對(duì)z軸角動(dòng)量守恒，得
()ωcLjvdm=-021式中
)(dmdmLmjLc-++=
1021)()(dmdmLmvdmLL-++-=ω得代入得將,mdmmmmL=+=
vLLdmd
mLmvdm)()(=-++-=ω通過上述剖析可得：
角動(dòng)量守恒定理適用于慣性系和質(zhì)情系，對(duì)其它非慣性系，要引入慣性轉(zhuǎn)矩，通常角動(dòng)量不守恒。因此不能直接在非慣性系中應(yīng)用角動(dòng)量守恒定理。
參考文獻(xiàn)
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