張天蓉博士率領你溯源物理數學的源頭、從趣味中感受物理之美，帶你步入物理數學及與其發展緊密相關的理論化學的房門。
知名化學學家楊振寧在日本作的一次講演《二十世紀物理與數學的分與合》中，提到物理與數學學之間的微妙關系時說，物理和數學如“書畫同源”，來自一個源頭，以前一度分家，而到了現代，雖然又形成了密不可分的關系。
考察物理和數學發展的歷史，的確可以說是“數理同源”，這兩個科學上最重要的分支，它們的關系就像男女之間的戀愛、結合、離婚、結婚，紛繁又復雜，真實而自然，堪稱妙不可言。
在古埃及的時侯，所有的科學都沒有區別，幾乎每位科學家都是通才：既是物理家，又是化學學家，也是哲學家。大約由于那時侯科學水平還比較低，完全不同于現今這些“隔行如隔山”的局面。而且，令我們如今搞科學的人憎恨的是：那時侯的科學家們，所思索的都是“大”問題：宇宙、天地、星星、月亮，生命的起源，萬物的秘密……那個年代可能也只有這些大問題可想，由于人類的知識寶庫里還只有簡短的幾條框框，沒有這個定理那種定律、這個技術那種工程的。既沒有紛擾無比的公式可推論，也不須要用計算機編程序來進行三天半個月之久的大量數字估算，為此數學物理專業，科學家們動腦子的時間多，因此她們幾乎全都是杰出的思想家。
阿基米德（前287～前212年）便是古埃及這樣一位思索“大”事情的偉大人物。他被覺得是歷史上最偉大的物理家之一，同時又是偉大的化學學家。不過，阿基米德不僅思索之外，動手能力也極強，因而，他被冠以的頭銜好多：哲學家、數學家、物理學家、發明家、工程師、天文學家等。
阿基米德距離我們的時代早已有兩千二百多年，但他在物理、物理、天文等方面的功底之深，不得不令我們現代人也驚訝萬分，非常是前幾年才使用現代科技方式恢復再現的阿基米德的手跡：失落的牛皮書，讓我們真正見識了那位偉人的超時代智慧。
阿基米德在物理上成就非凡，他借助所發明的“逼近法”，算出了球面的面積、球體的容積、橢圓和拋物線等所圍成的平面圖形的面積，他還研究出螺旋形曲線，即現代稱之為“阿基米德螺線”的性質。直至一千八百多年以后，牛頓和萊布尼茨才根據類似的極限思想，將其發展成了近代的“微積分”概念。
化學上，阿基米德發覺壓強定理的故事被廣為留傳。聽說阿基米德為了幫助敘拉古的國王識破金匠摻假造皇冠一事，而想辦法檢測形狀復雜的皇冠的容積，因此他絞盡了腦汁未得其法。后來有三天，當阿基米德曝曬在浴缸里泡澡的時侯，看到盆中的海面隨著自己身體浸下去而下降，忽然從中悟出了問題的答案：假如將皇冠溶入水底的話，盆中的水降低的容積應當等于浸在其中的皇冠的容積。這時，興奮無比的阿基米德從浴缸里跳了下來，光著身體就跑了出去，還邊跑邊喊“尤里卡！尤里卡！”，“尤里卡”是葡萄牙語，意思是“我發覺了”。阿基米德當時所發覺的便是我們如今熟知的“阿基米德壓強定理”。
在天文學方面，阿基米德以前制做了一座運行精確的星象儀，球面上有太陽、月亮及五大行星，可以展示太陽系的運行，能夠預測近日內將發生的日全食和月全食。阿基米德甚至開始懷疑地心說，腦海中早已形成了距離他一千六百多年以后哥白尼提出的日心說的迷蒙猜測。
第1章無窮小的魔術
1.從微積分說起
2.阿基里斯能追上兔子嗎？
3.誰發明了微積分？
4.阿基米德牛皮書
5.阿涅西的女巫
6.“傻博士”相親
7.圖解微積分
物理化學的軼事好多，本書主要涉及微積分以后與數學相關的物理。
牛頓
阿基米德以后的另一個偉大的物理化學通才是牛頓。牛頓為了完善他的數學理論而發明了微積分，并用微積分的語言寫下了牛頓三大定理和萬有引力定理。微積分無疑是物理觀念上的一場革命，它將無窮小量、極限、變量、函數等概念帶進了科學世界。讓各個科學技術領域如虎添翼數學物理專業，得以蓬勃發展，惠及人類。
微積分的真諦實際上是基于阿基米德時代就早已萌芽的極限概念，中國唐代學者也很早就有了物體可以無限可分直至無窮小的思想。但從這個“無窮小量”的原始雛型，發展到微積分這個嚴密的物理理論體系，以及后來又在微積分的基礎上完善了物理數學等式、黎曼幾何等物理分支，卻不是一件容易的事。這種物理理論，除了幫助牛頓和麥克斯韋等人構建了宏偉輝煌的精典熱學和精典電磁理論，還促進了理論化學中量子熱學、相對論、混沌理論等數次革命。回顧其間的漫長歷史過程，既耐人尋味，又發人深思。
牛頓的精典數學觀念伴隨著其精確的現代物理敘述統治了科學世界幾百年，直至如今也一直威力不減。現代社會各門科學技術的高速發展少不了精典熱學杰出的貢獻。
牛頓，那位上帝派來的光明使者，將世界從黑暗中救出下來。作家蒲柏（Pope，1688～1744年）為牛頓寫下了知名的碑刻銘：
“and'slawslayhidinnight,Godsaid:"Letbe!andallwaslight.”
與微積分一樣，物理中好多思想的源泉都來自于對化學的研究。由于物理和數學都是起源于人們對于世界的觀察和認識，數學規律常常須要借助物理的方式來進行定量描述。微積分的發覺是科學界的重大歷史風波，自此以后科學家有了一套得心應手的理論工具，微積分學技巧的精確描述使得生物、化學、力學、電子、工程等學科和技術得以長足發展，而物理作為“科學的皇后”，其價值觀也漸漸獨立。為此，自從牛頓以后，物理和化學也開始駛向不同的目標，逐步邁向了各自不同的發展公路。
不過，物理與理論化學的關系一直密切，理論化學的目的是解釋自然現象、總結普遍的規律。理論化學學家愛美，熱衷于揭發大自然的“數學之美”，而自然現象中原本就隱藏著奇妙的物理結構。為此，繼牛頓以后，又有了歐拉、拉格朗日、傅立葉、麥克斯韋、龐加萊、高斯、希爾伯特……這一個個的知名人物，既是物理大師，也對理論化學作出了杰出的貢獻。
牛頓像是個上帝派來的魔法師，他雙手照亮精典熱學之火，右手握著微積分，物理和數學的殿堂自此有了光明。筆者在介紹微積分發展的歷史以后，緊接著重點介紹了另一個物理化學的交叉領域：變分法和最小作藥量原理。就在牛頓發表他的《自然哲學的物理原理》之后一百年，拉格朗日出版了他的《分析熱學》。拉格朗日將變分法和最小作藥量原理用于牛頓熱學，完全用剖析的方式進行推論，構建起一套完整和諧的熱學體系，顯示了剖析學的巨大威力，也展示了物理和數學的成功結合。
變分法和最小作藥量原理中涉及的“求極大極小、最優化”等一類問題，與我們的日常生活緊密相關，牽連到不少歷史上知名的物理困局。因此，筆者在本書中并不是表述沉悶而艱深的物理公式，而是通過有趣的故事、生動的圖解、通俗的語言、出神入化的描述，為你介紹故事中隱藏著的深刻的物理化學原理。
第2章微積分到變分法
1.哪條滑梯最快？
2.安全拋物線
3.物理家的秘訣
4.弦震動問題
5.狄多女王的智慧
6.上帝也懂經濟學嗎？
7.美麗的對稱
8.自發對稱破缺
9.費曼的故事
10.順著歷史的路徑積分
對稱性和化學的關系是筆者在本書第2章中表述的另一個重點。對化學現象對稱性的研究，充分彰顯了物理和數學的互推互進、相輔相長。對稱性很早就是數學學研究的指導性原則，從有限對稱到連續對稱，美麗的大自然處處有對稱。對稱原本是物理概念，守恒是數學定理，知名的女物理家諾特所證明的諾特定律卻闡明了二者間存在緊密而奇妙的聯系。有一段時間，化學學家沉迷于對稱之美，覺得對稱性可能是許多化學現象的本質所在，以至于量子熱學的創始人之一海森堡發表過一個奇怪的觀點，覺得化學學家不用去詳盡研究夸克等基本粒子，只須要代之相應的對稱性到理論中就行了。
對稱中又暗含著不對稱。七彩斑斕的大自然是這么，數學學也是這么。數學規律的對稱性表現在真實世界中的具體現象時，卻似乎不是對稱的，由于它們是“自發對稱破缺”的結果。筆者以此理論詳盡介紹了與2013年諾貝爾化學學獎的相關發覺：“上帝粒子”——希格斯粒子之事。
在微積分基礎上發展下來的、最有效的科學技術工具莫過分微分等式。微分等式早已成為科技工程領域中最基本的物理模型。現在，不僅僅在數學學中，科研的各個領域都少不了它。它的結果和方式甚至被應用到人文學科中。非常是當估算技術發展到能否求出微分多項式的數值解過后，它更是在各項研究中大展身手。因而，筆者在第3章中提到了幾個重要的微分等式以及它們的應用，包括弦震動多項式、薛定諤多項式、麥克斯韋多項式等。
第3章微分等式拾趣
1.物理的詩篇
2.微分等式展宏圖
3.三體問題
4.奇妙無比的混沌
5.不可思議的分形
7.無窮小量遇到“量子”
8.電磁波的贊歌
微分等式除了作為科學技術的工具而存在，對非線性微分多項式的深入研究打開了整個非線性科學的房門。其中的混沌和分形以其獨特美妙的圖形尤為引人注目。筆者也對這兩個領域給與了詳盡的介紹。
在最后一章中，筆者首先重點介紹了3維空間中曲線和曲面微分幾何的基本概念。通過直觀易懂的圖象、趣味生動的實例，讓讀者了解微分幾何中的一些基礎性專業術語，例如曲率、撓率、活動標架、可展面、不可展面、最面館、高斯曲率等。之后，簡略地介紹了黎曼幾何、張量剖析以及它們對愛因斯坦創建廣義相對論的重要性。
第4章幾何上的無窮小
1.既古老又現代的幾何學
2.彎路上加速運動的車輛
3.平方正比率
4.曲面的微分幾何
5.香皂膜上的幾何
6.凝練幾何
7.黎曼幾何
8.張量場上的微積分
9.2維曲面上平行聯通和曲率
愛因斯坦當初在德國聯邦工大學做中學生時，物理系和化學系還不分家，算是同一系。當時的愛因斯坦重化學而輕物理，他覺得物理搞的是小問題，數學則是研究大問題。不過后來他研究的“大問題”被“小問題”困住了。可以說，沒有物理家們的幫助，愛因斯坦研究的相對論大問題不可能成功。
狹義相對論的物理是簡單的，但依然須要洛倫茲變換和閔可夫斯基空間來賦于它簡約優美的抒發方式。愛因斯坦最得意的是他的廣義相對論，他以前說過，假如他沒有發覺狹義相對論，5年之內會被人發覺，而且假如他沒有發覺廣義相對論，50年之內也不會有人發覺。還傳說愛因斯坦在幾個禮拜之內構建了狹義相對論，但是從1908年開始，就形成了將它推廣到引力場中構建廣義相對論的看法。并且，愛因斯坦卻花了整整7年的時間思索這個問題最后仍舊未得其果。是哪些緣由呢？愛因斯坦正是被他所忽略的物理問題難住了。后來偶然他的一位數學界同事格羅斯曼告訴他，他的引力理論想找尋的那個語文在半個世紀之前就早已被黎曼做下來了。這才解決了愛因斯坦的苦惱，使他順利地完成了廣義相對論。這段經歷令愛因斯坦衷心地感慨：“理論化學學家越來越不得不服從于純物理方式的支配。”
愛因斯坦
雖然，當初的黎曼在提出他的幾何思想時，也考慮了這個理論在數學學中的應用問題。黎曼想像了一個有限無界的球狀空間，但是推測它其實是宇宙形狀的正確描述。我們永遠沒法曉得，假如黎曼不是39歲便英年病逝的話，他的思想是否會朝著與50年后愛因斯坦類似的方向發展？
再后來，到了20世紀，固體化學中群論的應用、量子熱學及量子場論的構建、規范理論及弦論的研究，更促使物理化學這一領域高潮迭出、異常活躍，化學與物理的關系顯得非常微妙，理論化學早已離不開物理，非常是當人們疑惑于量子現象的獨特唬人以及相對論對時空觀念和因果律深層次探求而造成的一些例如“雙生子佯謬”之類的蒙蔽時，人們開始對化學形成了一些錯覺，仿佛化學早已不是原先的依賴于實驗和觀察結果的科學，而弄成了從物理邏輯推論下來的一大堆“奇思妙想”。
事實并非這么，再深奧的數學理論依然須要實驗和觀測的驗證。據悉，物理的發展也不能僅僅借助邏輯推理。雖然邏輯推理可以構建起整套確切無誤的物理體系，但正確不等于有用，不等于能很快地發展壯大。假如沒有在其他科技領域的實用價值，邏輯推理也可能無法持久。而且，語文在現代理論化學中飾演的角色早已不僅僅如過去那樣，只是作為研究和估算的工具了。物理早已在好多方面、在極其深刻的背景下與化學融合在一起。由于現今人類對化學風波的探求早已走入了與我們的常識完全不符合的微觀世界和宏觀世界，這兩個世界中的時空觀早已趕超了我們原先認知中的簡單精典圖象。其深層的哲學含意，估計必需要數學和物理的密切結合才有希望得以破解。
其實，理論化學和物理原本就是同族同源的兄弟，她們時分時合、源遠流長、交叉滲透、互相影響。從伽利略和牛頓開始，到近代的許多理論化學學家，都既懂數學，又通語文。更有趣的是，數學學界稱她們為化學學家，物理界則稱她們為物理家。為此，自古以來數理同源，物理為化學學家提供解決問題、實現理論的漂亮手段，數學則在一定程度上成為物理家靈感和直覺的重要源泉。
化學物理、數學化學，“數蘊哲學待回憶、物含妙理總堪尋”。本書率領你溯源物理數學的源頭，從趣味中感受物理之美，同時帶你步入物理數學及與其發展緊密相關的理論化學的房門。
本文由劉四旦摘編自張天蓉著《數學化學漫談——從無窮小開始》一書。《數學化學漫談——從無窮小開始》重點介紹了現代化學中常用的一些物理方式，包括微積分、變分法、微分多項式、微分幾何等領域的基礎知識。作者以深入淺出的解釋、直觀明白的圖象、生動有趣的語言，使你初步了解那些至少的物理概念，以及與它們相關的數學應用實例。率領你溯源物理數學的源頭、從趣味中感受物理之美，帶你步入物理數學及與其發展緊密相關的理論化學的房門。