基本內容
本章的重點是掌握動量、沖量的概念及其物理定律，以及這些定律的應用條件和方法。 本章的難點是所研究系統的劃分與選擇、守恒定律的條件與回顧、綜合力學問題的分析與求解。
教學目標
1.掌握動量定理和動量守恒定律動量定理和動量守恒，能夠分析和解決簡單的力學問題。
2.掌握運用守恒定律分析問題的思想和方法，能夠分析涉及平面運動的簡單系統的力學問題。
3 理解質心的概念和質心運動定律。
4-1 粒子和粒子系統的動量定理
1.沖量質點動量定理
動量是描述物體機械運動狀態的物理量。 日常生活中，當人們站在樹下，抬頭看到一片樹葉飄落，快要砸到自己的頭上時，他們一定會漫不經心地承擔起責任； 但當他們看到一塊石頭朝他們飛來時，他們肯定會趕緊閃避。
眾所周知，即使在釘子上面放置重物，也很難將釘子壓入木頭。 不過，用小錘子敲擊釘子比較容易將釘子釘進去。 這些現象都與動量的概念有關。 可見，動量是一個描述物體在某種運動狀態下的“運動量”的概念。 它比速度更全面、更準確地反映物體的運動狀態，是一個狀態量。在牛頓寫的書中，動量被定義為粒子的質量
m與其速度v的乘積，即
(1)
它是一個矢量，其大小為|mv |=mv，方向為速度方向。在SI單位中，動量的單位
是千克米每秒。符號是
。
根據牛頓第二定律 t
MTD）
(dddvp F ==
必須
)(dddvp F mt ==
上式的積分為
212d)(2
vvpp F
-=-=？ (4-1)
式中，1v和1P為粒子在1t時刻的速度和動量，2v和2P為粒子在2t時刻的速度和動量。
ttt
d)(2
ΔF是力對時間的積分，稱為力的沖量，用符號I表示。
式（3-1）的物理意義是：在給定的時間間隔內，作用在質點上的外力的沖量等于該時間內質點動量的增量。 這就是粒子的動量定理。
式（3-1）是粒子動量定理的矢量表達式。 在笛卡爾坐標系中，其分量公式為
?-==-==-==???zzyx 2x x 12 12 1 ddd 2121
mv mv t FI mv y mv t FI mv mv t FI (4-2)
動量定理在碰撞和打擊等情況下特別有用。 兩個物體碰撞時相互作用的力稱為沖量。 沖量的特點是作用時間極短，力的大小變化很大。 這就是所謂的力脈沖。 一般來說，沖量的大小隨時間的變化比較復雜，因此很難測量每個時刻的沖量。但是如果我們能夠知道兩個物體碰撞前后的動量，那么根據動量定理，我們可以得到物體所經歷的沖量； 如果我們還可以測量碰撞時間，那么我們也可以通過脈沖來計算碰撞時間。
內的平均脈沖
為了
2. 粒子系統動量定理
在前兩章中，我們討論了單個粒子的運動。 在本節中，我們將討論由許多粒子組成的系統的運動定律。 這類問題通常稱為粒子系統問題或多體問題。 （在粒子系統中，有一個特殊的類別，即所有的粒子都不受系統外部物體力的影響。也可以簡單地說，整個系統不受外部物體的影響。
顯然，質點在某一軸上的動量增量只與質點在該軸上受到的外力的沖量有關。 t
p dt t F tt F t
?21)(112
這種相互作用的粒子系統稱為孤立系統。 ）
如果系統S中有兩個粒子1和2，它們的質量分別為1m和2m。 系統外部粒子對其施加的力稱為外力，系統內部粒子之間的相互作用力稱為內力。 假設作用在粒子上的外力分別為1F和2F，兩個粒子之間相互作用的內力分別為12F和21F。 根據質點動量定理，在12t tt -=？ 時間，
作用在兩個粒子上的力的沖量和動量增量分別為
-=+2
10
)( FF
和
-=+2
20
)( FF
將上面兩個方程相加，我們有
()(d)(d)(202 212
vvvv FFFF +-+=+++??
(4-3)
根據牛頓第三定律，21F F -=12，所以系統中兩個粒子之間的內力之和，012=+21F F，所以上式為
()(d)( 212
vvvv FF +-+=+？
上式表明，作用在由兩個質點組成的系統上的總外力的沖量等于系統中兩個質點動量之和的增量，即系統的動量增量。
上述結論可以很容易地推廣到由n個粒子組成的系統。如果系統包含n個粒子，則方程(4-3)可以改寫為
Σ===-=+nin
伊特尼特恩
伊米姆特1
在 1
前2
d )(d )(vv FF
考慮到內力總是成對出現，大小相等，方向相反，它們的矢量和必定為零，即
Σ==n
二、
在
設作用在系統上的凈外力為 ex
F表示，系統的初動量和終動量分別為0P和P，則上式可得
重寫為
=-=寧
1
前2
dvvF (4-4a)
或者
0P PI -= (4-4b)
由式（3-4）可知，作用在系統上的總外力的沖量等于系統動量的增量。 這就是粒子系統的動量定理。
對于無限小的時間間隔，粒子系統的動量定理可以寫為
p F dd ex =t
或者
tdd 出口
F=
(4-4c)
上式表明，作用在粒子系統上的凈外力等于粒子系統動量隨時間的變化率。
上式表明，一定時間內質點受到的合外力的沖量等于同一時間內質點動量的增量。 這種關系稱為粒子動量定理的微分形式。 它實際上是牛頓第二定律的另一種形式。
在質量隨速度變化的相對論中，F = ma 不再成立，但 F dt = dp 仍然成立。
動量定理與牛頓定律的關系：①對于粒子來說，牛頓定律代表力的瞬時作用，而動量定理代表力對時間的累積作用。
②牛頓定律只適用于粒子系統，不能直接應用于粒子系統。 然而，動量定理可以應用于粒子系統。
③牛頓定律和動量定理只適用于慣性系統。 為了在非慣性系統中應用動量定理，必須考慮慣性力的沖量。
3.動量定理的應用實例
課本第63頁的示例1
4.思考問題
如圖所示，一根輕質無彈性的細線一端系在固定點O上，另一端系在一個質量為m的小球上。 小球做勻速圓周運動，半徑為r，速度為0v。 當球運動半圈時，球的重力、繩子的張力和球的力的合力的沖量是多少？ 方向是什么？
4-2 動量守恒定律
1.動量守恒定律
由式（4-4）可知，當系統總外力為零時，即0ex
=F
當 時，系統總動量的增量也為
為零，即00=-pp。此時系統總動量不變，即
Σ==
=n
iiim 1v p 常數向量 (4-5a)
這就是動量守恒定律，表達為：當系統所受的凈外力為零時，系統的總動量將保持不變。 式(4-5a)是動量守恒定律的矢量表達式。在直角坐標系中，其分量公式為
ΣΣΣ======32
C vmp C vmp C vmp iz iz iy iy ix ix
===)0()0()0(前
前任
ex zyx FFF (4-5b) 式中，1C、2C、3C均為常數。
2、應用動量守恒定律應注意的幾個方面
(1)只有外力才會對系統動量的增量做出貢獻。 系統的內力不改變系統的總動量，但可以改變系統中各個粒子的動量。
系統動量守恒并不要求系統不受外力作用，只要外力矢量和為零即可。 沒有外力作用的系統的動量必須守恒，因此孤立系統的動量也是守恒的。
在某些過程中（如爆炸、碰撞），系統雖然受到外力作用，但外力是有限的，過程時間很短，外力的沖量很小。 在此期間，內力非常大，系統各部分的動量變化主要來源于內力的沖量。 外力的沖量可以忽略不計，因此動量守恒定律可以用來研究系統內各部分之間的動量重新分配問題。
(2) 動量守恒是一個向量表達式，可以寫成三分量表達式： 若 Fx = 0，則 Px = 常數； 如果 Fy = 0，則 Py = 常數； 如果 Fz = 0，則 Pz = 常數；
(3) 與牛頓定律一樣，動量守恒定律僅適用于慣性系。
(4)動量守恒定律雖然源自牛頓第二、第三定律，但它的應用范圍比牛頓定律更廣泛。 特別是在微觀領域的某些過程中，牛頓定律可能不成立，但動量守恒定律仍然成立。
這是因為動量守恒定律可以直接從空間的平移不變性（一種時空對稱性）推導出來，而不需要牛頓定律。 時空對稱原理是比牛頓定律更高層次的定律。
動量不僅是表示物體運動狀態的量，而且具有更廣泛的含義，比速度更重要。 因此，一般地描述物體在機械運動過程中的狀態參數，用動量P比用速度v更準確。動量P和位置矢量r是描述物體機械狀態的狀態參數。
教科書第65頁的示例2和示例3
3.思考問題
1、粒子系統動量守恒，是否意味著當系統中某些粒子的速度變大時，某些粒子的速度一定會變小？
2. 假設您位于一個冰雪覆蓋的湖面上，摩擦力可以忽略不計，并且您周圍沒有其他可用的工具。 你如何靠自己的努力回到湖岸？ 你能通過步行、翻滾、揮動手臂或踢腳到達岸邊嗎？
例4-1 一根質量分布均勻的完全柔軟的繩子垂直懸掛，其下端剛剛接觸地面。 這時，松開繩子，從靜止狀態開始下落。 已知繩子的質量為m，長度為L。求當繩子下落到剩余長度z時地面對繩子施加的力。
解：繩索頂部的下落速度
是，當靠近地面的質量元dm與地面碰撞時，其動量從vdm變為零。 因此，如果質量元受到的支撐力為，根據粒子動量定理，我們有
忽略次要小量，考慮dt內著陸繩的長度為-vdt，我們可以
()
zlgv --=21
F()vdm
dt gdm F -=-1 ??
==??? ??--=-=lz 毫克 l mv dt lm vdt v dt dm v F 12121
加上一段落到地面的繩索的支撐力，總力為
例4-2 將一輛長度為l、質量為M的汽車放在一條直線軌道上。 車的A端站著一個質量為m的人。 人和車原本都是靜止的。 如果人從車的A端走到B端，不考慮車與軌道的摩擦力，求車和人各自的位移。 多少錢？
答：在人移動之前，人和車都是靜止的動量定理和動量守恒，速度為零。 行走后，設人和車相對于地面的速度分別為v和V。 假設它們都與 x 軸正方向相同。
0=m(+v)+M(+V)
所以我們有
在測試中，負號表示人和車向相反方向移動。由v=dx/dt，我們有
兩邊積分：
由此，汽車相對于地面的位移為
因此，人相對于地面的位移（即最終位置與初始位置的坐標之差）為
毫克
F1
（系統在水平方向不受外力作用，動量守恒，所以
其中 是某一時刻人和汽車相對于地面的速度。 設 u 為人相對于地面的速度，則
那么我們可以寫出如下船舶之間的三個運動關系
例4-3 在光滑的水平面上，有一個質量為bm的靜止物體B，B上還有另一個質量a。
m 中的靜止物體 A，A 受到影響，具有
v（相對于水平面）向右移動。 A、B之間的摩擦系數為μ。 A逐漸帶動B一起移動。 從 A 開始移動到相對于 B 靜止時，A 在 B 上移動了多遠？
解：以A、B組成的系統為例，根據動量守恒定律，內力所做的功不為零。 根據系統動能定理
①
21=+Mv mv 21v
v ,②
1vuv +=dt
vxtt?=0
22dt
維克斯
t?=0
11dt
終極
t?=0
()v
MMVMB
aaa+=k
WW ?=+內
外部
()222
121a
mgx -+=μ-()
咩
+μ=
22
完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞
兩個物體碰撞時，它們之間相互作用的內力遠大于其他物體作用在它們上的外力。 因此，在研究兩個物體之間的碰撞問題時，可以忽略其他物體對其施加的外力。 排除。 如果碰撞后兩個物體的動能之和完全沒有損失，則該碰撞稱為完全彈性碰撞。 事實上，當兩個物體碰撞時，由于非守恒力的作用，機械能轉化為其他形式的能量如熱能、聲能、化學能，或者其他形式的能量轉化為機械能。 這種碰撞屬于非彈性碰撞。 如果兩個物體發生非彈性碰撞后以相同的速度運動，則這種碰撞稱為完全非彈性碰撞。
例4-4 如圖所示，質量為M的木塊A在距平板高度h處自由落體。 落在質量為M的平板B上。已知輕彈簧的頑固系數為k，物體與平板進行完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的最大壓縮量。
解：本題可分為三個物理過程 ⑴A塊的去向
⑵ A 塊與 B 板碰撞 ①
GH
v 22
1=()②
21v MM MV +=
⑶ 碰撞后，彈簧被壓縮，機械能守恒
當彈簧被最大壓縮時
以沒有彈簧的平板的平衡位置為坐標原點0，則平板B放置后的位移為1x，塊A碰撞后的位移為2x，則
根據力學守恒定律，我們得到
和
=?+?=?pk EEE ()222
0v MME k +-
=?()()2122
212
121kx gx MM xxk E p -+-+=
？（）（）[]
()③
02
12
=+--+++-gx MM xxxkv MM ④
鎂
kx=1
將式①、②、④代入式③，得
解決方案
因為，負根應該被丟棄。 碰撞后彈簧的最大壓縮量為
2.思考問題
彈性碰撞中哪些量保持不變？ 非彈性碰撞中哪些量保持不變。
4-5． 質量為 m 的小球從靜止狀態沿著質量為 M 的弧形木槽從頂部滑動。 設圓弧槽的半徑為R（如圖所示）。 忽略所有摩擦，求（1）當球剛剛離開弧形槽時，球和弧形槽的速度是多少？ (2)小球滑向B點時木槽所受的壓力
02222=--
姆赫
xk 鎂 xhk 鎂 k 鎂 k
hk 鎂 k 鎂 k 鎂 xxx +
最大21
20
2>x
解：設小球和圓弧槽的速度分別為1υ、2υ (1) 根據動量守恒定律 021=+υυM m 由機械能守恒定律 mgR M m =+22212
121υυ 由上面兩個方程可以解出
()M
米
htK
+=+=221υ ()M
ikB
m+-=22υ
(2) 球相對于凹槽的速度為
()M
ikB
m M +-=-=2)
(21ννν
應用牛頓第二運動定律垂直
毫克氮2
ν=-
()M
米毫克 MM 米毫克 米米 R 米毫克 NN 22
232)(+=+-+=+=='υ
例 4-6。 打樁機錘子的質量為
，落下高度為，樁的質量為，錘子落下一次
樁的下沉位移為d，錘子不反彈。 求樁在落下過程中所受到的平均巖土阻力R？
分析：第一階段：錘子從高處落到樁頭。 在這個階段，錘子和地球組成的系統的機械能是守恒的。
第二階段：錘子與樁碰撞后的速度
它立即下降，直到等于樁的速度，錘子和樁的系統發生完全非彈性碰撞。
第三階段：錘子和樁有共同的初速度v，在巖土阻力R的作用下，在巖土中下降階段，巖土阻力做負功，動能錘子和樁組成的系統能量下降。
答：第一階段：從機械能守恒定律出發
第二階段：基于動量守恒定律
第三階段：由動能定理
（通常R比要大得多，所以上式
左邊第一項比第二項小得多，可以忽略。 ）