§5 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用 定積分在物理學(xué)中有極其廣泛的應(yīng)用。在物理問題中，經(jīng)常遇到的物理量都有連續(xù)性和可加性，要求返回某個(gè)物理量，重要的是求出然后 例1 如圖所示，pipe為管道。 解 以圓心為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，此時(shí)圓的正方形（設(shè)水直徑為m）的靜壓強(qiáng)為多少。 問水平面與直圓形閘門（半徑為3）的交界處？ 由于水的靜壓強(qiáng)在同一深度時(shí)是相同的，其值等于水而總的靜壓強(qiáng)為各窄條上靜壓強(qiáng)之和，所以這個(gè)過程是比重與深度的乘積，所以在很小的時(shí)候，從深度x到x的窄條上所受的靜壓強(qiáng)為2。 引力 例2 一長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)條，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。 細(xì)桿位于x軸上，質(zhì)點(diǎn)位于y軸上a點(diǎn)，取任意質(zhì)點(diǎn)壓力公式液體定積分，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，試求細(xì)桿上的質(zhì)點(diǎn)。在距細(xì)桿一定距離處，有一質(zhì)量為m的質(zhì)量桿，其垂直線為質(zhì)量微分元，它對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力為。由于細(xì)桿上各點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力方向不同，所以dF不能直接積分，因此將dF分解到x軸和y軸方向，垂直方向上總的合力為，負(fù)號(hào)表示合力與y軸方向相反。
例3 水池與水池之間的力。 例4 一個(gè)圓錐形水池，水池 三、功與功率的解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系。所作的功？水池里盛滿水。試計(jì)算在一個(gè)開口直徑30米，深度10米的水池中，將一層薄薄的水從深度x抽到水池開口xx+Δx所做的功W。微分元為 因而得例5的解 顯然，我們只需要計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的平均功率即可。在這種情況下， *§6 定積分的近似計(jì)算 雖然可以用牛頓-萊布尼茨公式精確計(jì)算，但用近似計(jì)算方法可以算出數(shù)。這里我們介紹定積分的計(jì)算，但它只適用于被積函數(shù)的原函數(shù)。按照定積分的定義，用幾何術(shù)語來說，這是用一系列小矩形來近似小曲邊的方法。 矩形法精度較差，通常采用下面介紹的梯形面積的結(jié)果，所以這種近似計(jì)算方法叫做矩形法。1.梯形法把積分區(qū)間對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)值記為曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為曲線上的每一段。這使得各小于，而整個(gè)彎曲梯形面積的近似值為即將彎曲梯形換成梯形，其面積為上面的近似公式叫做梯形法求定積分的公式。2.拋物線法用梯形法求定積分的近似值，當(dāng)是凸曲線時(shí)它太大，當(dāng)是凹曲線時(shí)它太小，拋物線法可以克服上面的缺點(diǎn)。
將區(qū)間分成幾點(diǎn)： 所對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)值記為 曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為 現(xiàn)在把區(qū)間上的曲線代之以一條過三點(diǎn)的拋物線來近似，就得到了最后的結(jié)果，這就是拋物線公式，又稱辛普森公式。 示例 計(jì)算的近似值。 解 將區(qū)間分成十等份，各點(diǎn)處被積函數(shù)的值列示如下： xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 1 0. 0. 0. 0. 0. xi 0.6 0.7 0.8 0.9 1 yi 0. 0. 0. 0. 0.5 （1）利用矩形法公式 （2）利用梯形法 （3）利用拋物線法 與精確值相比，矩形法只精確到一位有效數(shù)字； 梯形法精確到一位有效數(shù)字。形狀法有三位有效數(shù)字，精確；拋物線法有六位有效數(shù)字。復(fù)習(xí)題 定義1 設(shè)平面曲線C用下列參數(shù)方程表示： §3 平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率 本節(jié)定義光滑曲線的弧長(zhǎng)，并給出利用定積分計(jì)算弧長(zhǎng)的公式。 一、平面曲線的弧長(zhǎng) 返回定義2 設(shè)平面曲線C用參數(shù)方程曲線表示，則可算出C，弧長(zhǎng)為 定理10。
1（光滑曲線弧長(zhǎng)公式） 設(shè)曲線C用參數(shù)平方表示。若C為光滑曲線，則 證明 由第一章§1練習(xí)6可知， 即，所以當(dāng)f在[a,b]上連續(xù)可微時(shí)，C也可看作 注1 若曲線C用直角坐標(biāo)方程表示，則C也可看作 注2 若曲線C用極坐標(biāo)方程表示，則 例1 a 例2 求線段的弧長(zhǎng)。 例3 在光滑曲線上，圓弧段和的長(zhǎng)度相差不大。 *二、平面曲線的曲率 曲率是描述曲線曲率大小的概念，如圖所示，曲率的大小差別很大。 動(dòng)點(diǎn)由Q移至R時(shí)，旋轉(zhuǎn)角遠(yuǎn)大于切線。當(dāng)切線移至Q時(shí)，旋轉(zhuǎn)角反映的是動(dòng)點(diǎn)沿曲線從P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)切線的傾斜角。設(shè)表示點(diǎn)處切線的傾斜角，表示動(dòng)點(diǎn)沿曲線從P點(diǎn)移動(dòng)到R時(shí)切線傾斜角的增量。若長(zhǎng)度為，則稱為圓弧段的平均曲率。若存在有限極限，則這個(gè)極限K稱為曲線C在點(diǎn)P處的曲率。由于曲線是光滑的，總有，即若用表示曲線，則例1 求橢圓上由于極大點(diǎn)與極小點(diǎn)而產(chǎn)生的曲率解。 所以橢圓在每一點(diǎn)的曲率為 ，當(dāng) 時(shí)，在 處曲率最大，由例1可知，若 ，則各點(diǎn)曲率相等，在 處曲率最小，顯然直線上每一點(diǎn)的曲率都為0。
設(shè)曲線上某點(diǎn)P處的曲率為 ，若過P點(diǎn)畫一個(gè)半徑為 的圓，它與P點(diǎn)處的曲線有相同的切線，并和P附近曲線在切線的同一側(cè)（見圖），即P處的曲率圓。曲率圓的圓心叫曲率中心，半徑叫曲率半徑，我們把這個(gè)圓叫曲線。當(dāng)列車軌道由直道（用虛線表示）進(jìn)入半徑為R的圓曲線時(shí)，使列車的向心加速度增大，為保證列車安全，必須經(jīng)過緩沖軌道，以保證行車安全。例2 如圖所示，由此曲線的曲率公式可得：緩沖曲線常采用曲率由0逐漸增大到接近于的三次曲線，從而起到緩沖曲線段的作用。 §4 旋轉(zhuǎn)曲面面積定積分的所有應(yīng)用問題，都可用“除以量的積分形式”來處理，但在實(shí)際應(yīng)用中，常常要經(jīng)過“截取、近似、求極限”三個(gè)步驟來求出所求的返回值。那么，當(dāng)上式中的連續(xù)函數(shù)時(shí)，若第一種，微元法現(xiàn)在只需將問題反過來：若所求量在面積上分布或者是區(qū)間端點(diǎn)x的函數(shù)，即式中f為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)，當(dāng)x=b時(shí)，它就是所求的最終值。
那么只要進(jìn)行計(jì)算，就是在任意小區(qū)間上的問題，如果的小增量可以近似為的線性形式一般來說，嚴(yán)格檢查上述方法通常稱為微分方法。在使用微分方法時(shí)，應(yīng)注意：解的結(jié)果。 (2)微分方法的關(guān)鍵是正確地給出高階無窮小量的近似表達(dá)式并不是一件容易的事。 (1)所求的量必須相對(duì)于分布區(qū)間是可加的。 這段曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面（如下圖所示）。設(shè)平面光滑曲線C的方程為2。旋轉(zhuǎn)曲面的面積在x軸上過點(diǎn)x分別作一個(gè)垂直于x軸的平面。其中，由于時(shí)，這條窄帶的面積近似為截頭圓錐的邊面積，也就是表面壓力公式液體定積分，它們?cè)谛D(zhuǎn)曲面上截?cái)喑鲆粭l窄帶。 當(dāng)很小時(shí)，可以保證的連續(xù)性，于是我們得到如果光滑曲線由參數(shù)方程給出，那么將曲線C繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積就是作為例1的求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的橢球面的面積。解：將橢圓的上半部分寫成參數(shù)方程。讓例2求心形線繞極軸旋轉(zhuǎn)得到的曲面的面積。當(dāng)然，這也可以從上面得到的橢球面的面積得到。解：用參數(shù)方程表達(dá)曲線：所以請(qǐng)讀者自己想辦法做到這一點(diǎn)？ 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 返回下一頁 上一頁 §1 平面圖形面積 本節(jié)介紹利用定積分計(jì)算各種表達(dá)形式的平面圖形面積： 1.用直角坐標(biāo)方程表示的平面圖形面積 2.用參數(shù)方程表示的平面圖形面積 3.用極坐標(biāo)表示的平面圖形面積。 返回平面圖形面積 1.用直角坐標(biāo)方程表示的平面圖形面積 向上移動(dòng)，由定積分的幾何意義可知A的面積為 例1 解 所以 所以 例2 解 那么 顯然，由于g1(y)和g2(y)不是分段定義的函數(shù)，所以比較容易計(jì)算。 2.用參數(shù)方程表示的平面圖形面積 設(shè)曲線C用參數(shù)方程表示，則乘積