提高思維層次
導(dǎo)讀
展示數(shù)學(xué)學(xué)剖析問題的方式，從蘋果到牛頓、開普勒、卡文迪許和愛因斯坦......數(shù)學(xué)學(xué)整個(gè)學(xué)科的成立從牛頓1687年的名著《自然哲學(xué)的物理原理》開始。哲學(xué)中自由的思辨在科學(xué)里成為大膽的假定，運(yùn)用物理和邏輯進(jìn)行嚴(yán)格的推理。更重要的是必須用實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)結(jié)果做最終檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)學(xué)就是哲學(xué)、數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合后形成的科學(xué)。
1687年，如日中天的康熙臣子，只身在后宮跟傳教士學(xué)幾何，玩自鳴鐘。但遙遠(yuǎn)的西方形成了面向大眾的科學(xué)，一個(gè)多世紀(jì)后就改變中國(guó)的國(guó)運(yùn)。
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和正在學(xué)數(shù)學(xué)的同事談數(shù)學(xué)技巧
雖然你不是數(shù)學(xué)專業(yè)的，你應(yīng)當(dāng)也據(jù)說(shuō)過這個(gè)故事：牛頓在蘋果園中看到蘋果掉在地上（也有說(shuō)被蘋果砸中頭的），悟出了萬(wàn)有引力定理。這個(gè)故事是否可信？從科學(xué)的角度我們可以問，一位訓(xùn)練有素的化學(xué)學(xué)家，能夠在當(dāng)時(shí)的條件下，從蘋果的落地推導(dǎo)入萬(wàn)有引力定理？答案是肯定的。
打算知識(shí)
要想重現(xiàn)牛頓在蘋果園中的思索，我們首先要清楚在哪個(gè)知名的蘋果落地之前，牛頓早已曉得哪些。牛頓當(dāng)時(shí)把握的知識(shí)，大部份都早已被明天的小學(xué)生學(xué)到了。
首先是牛頓的熱學(xué)三定理：
第一定理：假如不受力，物體保持勻速直線運(yùn)動(dòng)
第二定理：假如受力，物體的質(zhì)量除以加速度等于受力，F(xiàn)=ma
第三定理：兩個(gè)物體之間的斥力和反斥力大小相等方向相反
太陽(yáng)系的結(jié)構(gòu)：經(jīng)過天文學(xué)家的常年努力，破不僅宗教迷信，人們?cè)缫褧缘迷虑蚝托行嵌紘@著太陽(yáng)轉(zhuǎn)。除了這般，天文學(xué)家還對(duì)月球和幾顆主要行星的軌道進(jìn)行了精密的觀測(cè)。這種軌道的數(shù)據(jù)，對(duì)發(fā)覺萬(wàn)有引力定理起到了決定性的作用。
據(jù)悉，牛頓把握的語(yǔ)文工具，比昨天的小學(xué)生多一些。牛頓發(fā)明了微積分，微積分在發(fā)覺萬(wàn)有引力的過程中，也提供了幫助。
對(duì)于物體的下落和重力，數(shù)學(xué)學(xué)已經(jīng)研究得很清楚了。初期的人類，天真地覺得重的物體比輕的物體下落快。也有聰明人意識(shí)到這肯定不對(duì)，他是這樣推論的：
把一個(gè)重的物體和一個(gè)輕的物體綁在一起，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)更重的物體。假如重物比輕物下落快，那這個(gè)更重的物體一定下落更快。另一方面，輕物和重物綁在一起下落，它原本的下落速率慢，一定會(huì)向后連累重物的下落，所以這個(gè)復(fù)合物體下落的速率一定會(huì)比重物要慢。這就自相矛盾了，倒是重物和輕物下落一樣快可以自圓其說(shuō)。
這套推理隱含的假定是物體的下落始于外因（例如它的質(zhì)量），假如有其他外力干預(yù)（例如空氣阻力），這個(gè)推理就不組建了。明天我們曉得，蘋果之所以比樹根下落快，不是由于蘋果更重，而是由于樹根的形狀，讓它遭到的空氣阻力比重力大得多。
后來(lái)伽利略在漢堡斜塔上展示了重球和輕球同時(shí)落地。數(shù)學(xué)學(xué)最終是要靠實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的，但這個(gè)事例表明，推理的力量也很強(qiáng)悍。
明天小學(xué)生在數(shù)學(xué)課中就會(huì)學(xué)到：假如不計(jì)空氣阻力，所有物體的下落過程都是勻加速運(yùn)動(dòng)，所有物體的加速度都是g。用牛頓的第二定理，我們曉得物體都遭到了一個(gè)重力，和它的質(zhì)量成反比：F=mg。
從蘋果的下落找尋重力的起源
聽到哪個(gè)蘋果落到地上，牛頓首次開始思索重力的起源。古人認(rèn)為物體向下落天經(jīng)地義，但當(dāng)時(shí)牛頓早已曉得大地是個(gè)球，月球是漂浮在宇宙中的。宇宙中并沒有一個(gè)稱作“下”的方向，月球似乎也沒有向那個(gè)方向落下去。日本和中國(guó)的蘋果就會(huì)落到地上，但兩地蘋果的下落角度差得很大。重力，更像是月球?qū)λ形矬w的吸引。
但究竟是哪些誘因引起了月球?qū)ξ矬w的吸引力？重力反比于質(zhì)量，也就是說(shuō)有質(zhì)量的物體就會(huì)被吸引，雖然是物體的質(zhì)量形成了吸引力。但為何這個(gè)吸引力只在月球和物體之間，為何兩個(gè)蘋果之間沒有吸引力？
把這個(gè)問題暫時(shí)放一放。我們應(yīng)用一下牛頓第三定理。假如月球吸引蘋果導(dǎo)致了重力，這么這個(gè)重力會(huì)有一個(gè)反斥力，就是蘋果對(duì)月球的吸引力。月球?qū)μO果的吸引力反比于蘋果的質(zhì)量，蘋果對(duì)月球的吸引力一定反比于月球的質(zhì)量。但斥力和反斥力大小相等，惟一的可能性就是蘋果和月球之間的吸引力反比于蘋果質(zhì)量除以月球質(zhì)量。
這樣一來(lái)，之前的問題有答案了：假如兩個(gè)物體之間的吸引力反比于兩者質(zhì)量的乘積，這么月球?qū)μO果的引力反比于月球質(zhì)量除以蘋果質(zhì)量，兩個(gè)蘋果之間的吸引力反比于兩個(gè)蘋果質(zhì)量的乘積。后者是蘋果的重量，前者一定比蘋果的重量小好多好多。所以，很可能兩個(gè)蘋果之間是有吸引力的，只不過它太小，我們觀察不到。
假如月球由于有巨大的質(zhì)量形成引力，這么月球和太陽(yáng)，和其他行星之間是否也會(huì)有引力？
月球在繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，但還沒有人想過為何，天上的事情自然是上帝安排的。很可能，牛頓在蘋果園里，從地面想到了天上。月球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道是一個(gè)近似的矩形，月球在環(huán)繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，是有一個(gè)加速度的。即使速率的大小不變，但方向不斷改變，隨時(shí)都在轉(zhuǎn)彎。這個(gè)加速度的方向指向圓心，大小由下邊這個(gè)公式給出。
轉(zhuǎn)動(dòng)加速度公式
這個(gè)結(jié)果，用牛頓的微分很容易證明。明天中學(xué)的數(shù)學(xué)老師也會(huì)把這個(gè)結(jié)果教給中學(xué)生。
假如我們可以把牛頓第二定理用到整個(gè)月球上，這么月球一定是遭到了一個(gè)指向軌道圓心的力，那正是太陽(yáng)的方向！月球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)，完全可以用太陽(yáng)的吸引力解釋。由于月球有速率，才不會(huì)像蘋果那樣掉下去。看來(lái)，很可能天上的、地上的物體，都滿足同樣的熱學(xué)定理，都有同樣的引力規(guī)律！
但為何是月球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)而不是太陽(yáng)繞月球？為何所有的行星都繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)？這一定和月球上的所有蘋果都落到地面的誘因一樣：太陽(yáng)的質(zhì)量一定比所有的行星都大好多，因而太陽(yáng)對(duì)每一顆行星的引力，比它們之間的引力大好多。
引力和距離的關(guān)系
兩個(gè)物體之間的引力大小，應(yīng)當(dāng)和距離有關(guān)，距離越遠(yuǎn)引力越小，這才合理。否則，太陽(yáng)比月球的質(zhì)量大好多，我們和蘋果就會(huì)被吸到太陽(yáng)里面去。但引力和距離是哪些樣的關(guān)系呢？
自然界最基本的規(guī)律，常常都是簡(jiǎn)單的。例如牛頓第二定理，再簡(jiǎn)單不過了。我們不妨猜猜，是跟距離成正比？還是跟距離的平方成正比？
等等，蘋果和月球之寬度離如何算？實(shí)際上，萬(wàn)有引力定理，和牛頓三定理一樣，都是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)的。質(zhì)點(diǎn)是具象下來(lái)的簡(jiǎn)單物體，有質(zhì)量，沒有規(guī)格和形狀結(jié)構(gòu)。月球和蘋果之間的引力，須要把月球分割成無(wú)數(shù)的質(zhì)點(diǎn)，分別估算蘋果和這種質(zhì)點(diǎn)之間的引力牛頓第一定律現(xiàn)象舉例，再求和。這個(gè)估算，須要用到牛頓發(fā)明的積分。
月球?qū)μO果的引力
假如引力和距離的平方成正比，積分的結(jié)果非常簡(jiǎn)單：月球?qū)μO果的引力，相當(dāng)于把月球的質(zhì)量都集中到地心那種點(diǎn)上。在引力的公式中，用蘋果到地心的距離（就是月球直徑）代入就可以了。假如引力不是和距離平方成正比，就沒有那么簡(jiǎn)單漂亮的結(jié)果。蘋果樹下的牛頓似乎還不曉得這些，但他回到臥室后，一定可以推導(dǎo)入這個(gè)結(jié)果，明天物理基礎(chǔ)好的學(xué)院生，都可以獨(dú)立地完成這個(gè)證明。
假如地面的事情太復(fù)雜一時(shí)算不清楚，不妨去想想天上的東西。在太陽(yáng)系內(nèi)，恒星的直徑比它們之間的距離小好多，諾大的月球和太陽(yáng)，反倒可以被近似地當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)。各大行星繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，直徑有大有小，它們會(huì)給出引力與距離關(guān)系的信息。
早在半個(gè)多世紀(jì)前，英國(guó)天文學(xué)家開普勒，就對(duì)各大行星的軌道進(jìn)行了精密的觀測(cè)和估算，總結(jié)出了三個(gè)定理。其中第三定理非常簡(jiǎn)單：行星的軌道直徑越大，公轉(zhuǎn)周期就越長(zhǎng)，直徑的立方和周期的平方成反比。假如引力的距離平方成正比，就可以解釋開普勒第三定理。這個(gè)推論十分簡(jiǎn)單，明天一個(gè)數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)好中學(xué)生，也可以閉著眼睛在蘋果樹下完成這個(gè)證明。須要用到里面那種轉(zhuǎn)動(dòng)加速度公式。
開普勒第三定理的推論
最后一行的公式右邊，是一個(gè)只和太陽(yáng)質(zhì)量有關(guān)，對(duì)月球和所有行星都一樣的常數(shù)，這就證明了開普勒第三定理。至此，從當(dāng)時(shí)已知的科學(xué)知識(shí)出發(fā)，我們通過天馬行空的思索，和嚴(yán)謹(jǐn)塌實(shí)的推理，發(fā)覺了萬(wàn)有引力定理。整個(gè)推論過程并沒有用到復(fù)雜的物理，牛頓完全可能在蘋果園里完成它。
牛頓的萬(wàn)有引力定理
回到客廳，牛頓還做了更多的工作。開普勒還有另外兩條定理：第一定理：月球和行星的軌道是橢圓形的（很接近正圓的橢圓形），太陽(yáng)坐落橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定理：行星和太陽(yáng)的連線，單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積是一樣的（也就是說(shuō)，行星離太陽(yáng)近的時(shí)侯，速率會(huì)快些）。
牛頓用他的熱學(xué)第二定理，萬(wàn)有引力定理，以及微積分語(yǔ)文工具，證明了這兩條定理。這下實(shí)錘了，我們除了定性地，但是定量地證明了宇宙中的天體，是根據(jù)和地面物體一樣的牛頓熱學(xué)定理和萬(wàn)有引力定理運(yùn)行的。
雜記
這還不算完，萬(wàn)有引力定理預(yù)言了一個(gè)新的化學(xué)現(xiàn)象，就是兩個(gè)蘋果之間，任何兩個(gè)物體之間，也有一個(gè)很小的吸引力。這個(gè)現(xiàn)象必須得到實(shí)驗(yàn)否認(rèn)，這條定理才能被徹底接受。但這個(gè)力太小了，檢測(cè)它是須要很高的技術(shù)。在牛頓發(fā)表萬(wàn)有引力定理的111年后，總算由卡文迪許完成了這個(gè)實(shí)驗(yàn)，他用了兩個(gè)大標(biāo)槍，檢測(cè)了它們之間的引力符合萬(wàn)有引力定理牛頓第一定律現(xiàn)象舉例，同時(shí)第一次測(cè)到了萬(wàn)有引力常數(shù)。
萬(wàn)有引力常數(shù)
因?yàn)榈孛嫖矬w的引力是十分微弱的效應(yīng)，關(guān)于引力的實(shí)驗(yàn)總是很困難。后來(lái)，愛因斯坦于1916年發(fā)表了更中級(jí)的引力理論--廣義相對(duì)論；100年后的2016年，他預(yù)言的引力波才首次被偵測(cè)到。
牛頓把萬(wàn)有引力定理，發(fā)表在他1687年的名著《自然哲學(xué)的物理原理》中。如何是哲學(xué)而不是數(shù)學(xué)學(xué)？那種時(shí)侯，數(shù)學(xué)學(xué)和整個(gè)科學(xué)都還沒有完全從哲學(xué)中分離下來(lái)。是牛頓成立了科學(xué)方式，成為了現(xiàn)代科學(xué)的奠基人。在哲學(xué)里，你可以自由地去思辨。在科學(xué)里，你也可以大膽假定，但你必須使用物理和邏輯進(jìn)行嚴(yán)格的推理；更重要的，你必須用實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)結(jié)果做最終的檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)學(xué)，就是哲學(xué)、數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合后形成的科學(xué)。
我們寫這篇事后諸葛亮的文章，正是為了展示數(shù)學(xué)學(xué)剖析問題的技巧。
1687年，康熙王朝正如日中天。但遙遠(yuǎn)的西方形成了科學(xué)，一個(gè)多世紀(jì)后就改變中國(guó)的國(guó)運(yùn)。
在西方，萬(wàn)有引力定理也是重大的思想突破。之前人們總覺得天上的事情歸上帝管，如今發(fā)覺它們遵循和地面物體同樣的數(shù)學(xué)規(guī)律。虔敬的信徒牛頓興奮地說(shuō)：我如今只須要上帝給我第一推進(jìn)力，之后宇宙萬(wàn)物就都屬于我的定理了！
謝謝那種蘋果，讓人類的認(rèn)識(shí)往前邁出一大步！