一、角動量定律及角動量守恒定律 1、力對點的力矩：如圖所示，定義力F對O點的力矩為：M=rF 大小為：扭矩的方向：扭矩是一個矢量，其方向可以用左手螺旋定則來確定：左手食指并攏，其余四指彎曲，當彎曲方向從矢狀半徑變化時與力的方向成大于1800°的角度，食指指向的方向就是扭矩的方向。 2、力對轉軸的扭矩：力對O點的扭矩在經過O點的軸線上的投影稱為力對轉軸的扭矩。 1）力平行于軸線，則M=0； 2）質心上的外力F位于垂直于旋轉軸的平面內，旋轉軸與力的作用線之間的距離d稱為力對旋轉軸的力臂。 該力與力矩臂的大小的乘積稱為力F作用在旋轉軸上的扭矩，用M表示。扭矩的大小為：MFd或：
2、其中是F和r的傾斜角。 3）如果力F不在垂直于旋轉軸的平面內，則該力可分解為兩個力，平行于旋轉軸的分力F1和垂直于旋轉軸的平面內的分力F2。 只有分力F2才能影響質心的旋轉狀態。 對于定軸旋轉，扭力M只有兩個方向，沿旋轉軸方向或沿旋轉軸反方向，可轉化為標量法，其方向用正、消極的。 3. 合成扭矩是每個分力的扭矩之和。 合力F=Fi，外力矩MrF=rFi=rFi=Mi 為MMi 4. 質點角動量定律及角動量守恒定律 在討論質點的運動時，我們用動量來描述機械狀態運動，并討論機械運動的狀態 運動過程中觀察到的動量守恒定律。同樣，在討論質點相對于空間中某一點的運動時，我們也
3、角動量可以用來描述物體的運動狀態。角動量是一個非常重要的概念。 在旋轉問題中，它的作用類似于（線性動量）。在研究力對質點的作用時，考慮力對時間的累積效應，從而導出動量定律，因此得到動量守恒定律；當考慮力對空間的累積效應時，可得出動能定律，從而得到機械能守恒定律和能量守恒定律；而對于扭矩對時間的累積效應，則可得出角定律可以得到動量和角動量守恒定律；而扭矩對空間的累積作用，可以得到質心旋轉動能定律，這是下一節的內容，本節主要討論角動量定律和質心繞固定軸旋轉的角動量守恒定律。在此之前，討論角動量定律和質點對于給定點的角動量守恒原理。 下面將討論角動量以及質點的角動量和質心從力矩對時間上的累積效應，介紹角動量的概念
4、數量守恒定律。 1 質點的角動量 () 描述旋轉特性的數學量 1) 概念 1、質量為 m 的質點以速度 v 運動，相對于坐標原點 O 的位置??矢量為 r，定義粒子相對于坐標原點 O 的角動量 是位置向量與質點動量的向量積，即 L=rP=rmv 角動量是一個向量，其大小為 L=式中，為質點動量與質點位置矢量的傾角。 (1)從天體到基本粒子，一切事物都具有旋轉的特性。 然而，從18世紀角動量的定義來看，直到20世紀人們才開始認識到角動量是自然界中最基本、最重要的概念之一。 它不僅在經典熱學中很重要，在現代化學中也有更廣泛的應用。例如電子繞原子核運動，具有軌道角動量，電子本身具有載流子運動，具有載流子運動
5、角動量等。 原子、分子和核系統的基本特性之一是它們的角動量僅具有某些離散的大小。 這稱為角動量的量子化。 因此，角動量在描述這些系統的特性中起著重要作用。 (2)角動量不僅與質點的運動有關，還與參考點有關。 對于不同的參考點，同一粒子具有不同的位置向量，因此角動量也不同。 因此，在描述粒子的角動量時，必須指定它相對于哪個參考點。 (3)角動量L=rP=rmv的定義與力矩M=rF的定義相同，因此角動量有時也稱為動量矩。 (4) 如果質點做圓周運動vr，并且在同一平面內，則角動量的大小為2L=mrv=mr，寫成向量的方式為L=mr2 (5)
6、勻速直線運動時，雖然位置矢量r發生變化，但質點的角動量L保持不變。 L==mvd2 質點角動量定律(of) (1)質點旋轉定理：討論質點在力矩作用下角動量如何變化。 設質點的質量為m，在合力F的作用下，運動多項式為dvd(mvF=ma=m=dtdt)將上式與位置向量r叉乘，得到d(mvrF=rdt考慮 dddr(rmv=r(mv + 和 v=vv=0dtd 得到 rF=(rmvdt 由扭矩 MrFd 和角動量 L 定義
7. =( 得到Mdt描述：質點到參考點O的合力的力矩等于質點到O點的角動量隨時間的變化率。有些書上稱之為旋轉粒子的定理（或角動量動量定律的微分法）。這在方式上類似于牛頓第二定理F=P/t，其中M對應于F，L對應于P。 （2）定律將上式改寫為Mt=LMdt 是扭力與作用時間的乘積，稱為沖量，對上式積分可得 t2Mt=L2- In式中，L1和L2分別為質點在t1和t2時刻的角動量，Mt為質點在t2-t1時刻受到的沖量t1的時刻的角動量。角動量定律粒子：對于同一參考點，粒子受到的沖量矩等于質量
8、點角動量增量。 成立條件：慣性系中3個質點的角動量守恒定律（） 若質點上的合外扭力為零，即M=0，則Lrmv常數向量為角動量：當粒子所受的力相對于參考點時，所產生的外扭力為零時，粒子相對于參考點的角動量為常數向量。說明：（1）原理條件質點角動量守恒M=0，可能有兩種情況：合力為零； 合力不為零，但合外扭矩為零。 如：質點做勻速圓周運動。 當質點做勻速圓周運動時，作用在質點上的合力就是所謂的指向圓心的向心力，因此它的扭矩為零。 因此，當質點做勻速圓周運動時，其到圓心的角動量守恒。 除此之外，只要力作用在粒子上
9、存在心力，心力對力中心的力矩始終為零，因此質點對力中心的角動量在心力作用下守恒。 太陽系中行星的軌道是橢圓形，太陽位于兩個焦點之一。 太陽作用在行星上的引力是指向太陽的向心力。 因此，如果以太陽為參考點O，則行星的角動量守恒。 特殊情況：（1）在向心力作用下，質點相對力心的角動量守恒； (2)勻速直線運動。 (2)角動量守恒是數學的另一個基本定律。 角動量守恒在天體運動和微觀粒子運動的研究中具有重要作用。典型例子1。如圖所示，一根長度為L，質量為M的靜止均勻細棒，可以在水平面內繞光滑的固定軸2O穿過桿的端部并垂直于桿的長度。 轉動力矩為 ML/ 3 質量為 m、速度為 v 的彈丸沿水平面內緣運動，
10、桿垂直方向射出，穿過桿的自由端。 假設彈丸穿過桿后的速度為v/2，則桿的角速度應為 (AML(B2ML(C3ML(=概述 mvL =ML+)，選(D)解：角動量守恒，2在光滑的水平面上，有一個輕彈簧，一端固定，另一端連接質量m=1kg的滑塊，如圖所示，彈簧自然是l-1 - 1寬度l0=0.2m，頑固系數k=100N·m，當t=0時，彈簧寬度為0，滑塊速度v0=5m·s，方向垂直于彈簧，在某一時刻，彈簧位于同一初始位置的垂直位置，寬度l=0.5m，找到此時的滑塊
11、速度的大小和方向。解：00==mv+k(-0解2v=v0-km可得(-02=4m/s,=3003 假設衛星繞衛星做圓周運動則在運動過程中，衛星的 ( A. 角動量守恒，動能也守恒 (B. 角動量守恒，但動能不守恒 (C. 角動量不守恒，但動能不守恒)動能守恒（D.角動量不守恒，動量不守恒）提示：衛星上唯一的外力是萬有引力，也就是“心靈力”，所以角動量守恒；外力不做功，所以動能守恒。4 如果外力作用在熱系統上的合力為零，則外力_（填充或不填充一定）的合力為零；在這些情況在熱系統中的動量、角動量和機械能這三個量中角動量定理公式是什么，必須守恒的量是_提示：例如：合力是
12, 0，但產生的扭矩不為0，此時動量必須守恒。 5 將一根長度為 l 的細繩一端固定在光滑水平面上的 O 點，另一端系在質量為 m 的球上。 繩子一開始是松弛的，球到點O的距離為h，使得球沿著光滑水平面以一定的初速度沿著垂直于球初始位置和點連線的直線運動O.當球與O點的距離達到l時，繩子拉緊，使球沿一條以O點為中心的正方形軌跡運動，則動能EK與初始動能EK0之比小球做圓周運動時的 EK/EK0==2=2lv0l 提示：小球在運動過程中角動量守恒：mv0h= 如圖所示，在水平光滑的桌子上中間一個小孔O，放一根繩子連接，質量m=
13、將4公斤小物體繩子的另一端從小孔中垂下，用手拉動。 開始時，物體在直徑為R0=0.5m的工作臺上旋轉，其線速度為4m/s。 縮短物體旋轉直徑，繩子最多只能承受600N的拉力。 繩子剛斷時角動量定理公式是什么，物體的旋轉直徑R是多少？ 提示：N、G合力為0，T為向心力，因此物體角動量守恒：mv0R0=mvR，拉力提供向心力：mv2T=R，可同時求解。 m，一根剛度系數k=8N/m的彈力繩，繩子一端系著質量為m=0.2kg的小球B，另一端固定在水平面上的A點。 最初彈力繩是松的，球 B 的位置和速度 v0 圖中顯示速率 v 和初速度 v0 提示：球受到 G、N、T，前兩個扭矩之和為 0 ，前者是意向力。 因此，小球的角動量守恒：如下運動所示，當小球B的速度為v時，它到A點的距離最大，彈力繩的長度為l =0.8m。 求此時的速度=且滑動過程中只有T做功，因此球和彈力繩的機械能守恒：0=mv2+K(l-可同時求解。